Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

За 20 лет до первой записи Эдисона француз Эдуар Леон Скоп изобрел фоноавтограф, который мог записывать звуковые колебания, но не воспроизводил их. Записи фоноавтографа хранились в Библиотеке Конгресса США. В 2008 году группе исследователей удалось воспроизвести эти записи, датируемые 1860 годом. Они услышали известную французскую песню Au claire de la Lune («В свете луны») — первую в истории запись звука.

* * *

Аналогово-цифровое преобразование

Аналогово-цифровое преобразование выполняется посредством импульсно- кодовой модуляции сигналов (англ. РСМ — Pulse-Code Modulation ) аналогово-цифровым преобразователем (англ. ADC — Analog-to-Digital Converter ). Аналоговый звуковой сигнал легко представить в виде кривой, которую можно описать численно.

Аналогово-цифровое преобразование заключается в дискретизации этой кривой: сигнал замеряется с заданной частотой и разбивается на множество одинаковых интервалов. Чем больше число интервалов, тем ближе к исходному будет записанный и воспроизводимый сигнал и тем выше качество записанного звука. Это же происходит и в кино: чем больше кадров демонстрируется в секунду, тем плавнее выглядят движения на экране. Можно привести и другой пример: чем больше точек, лежащих на кривой, нам известно, тем точнее мы сможем восстановить исходную кривую.

Чем больше число измерений (вертикальных линий) звука, тем ближе к исходной кривой будет ее представление в виде прямоугольников сетки.

По теореме Найквиста — Шеннона (в русскоязычной литературе теорема Котельникова) при определенных условиях аналоговый сигнал с максимальной частотой М может быть восстановлен однозначно и без потерь, если количество измерений в секунду превышает 2 М . Так как максимальная частота, которую необходимо зафиксировать, равняется 20000 Гц (это порог слышимости звука человеком), частота дискретизации при записи музыки на CD равна 44100 раз в секунду — эта величина несколько больше удвоенной максимальной частоты звука.

Существует и другой фактор, влияющий на точность преобразования, — глубина кодирования звука. Графически измерения при дискретизации можно представить в виде линий определенной высоты, длину которых нужно измерить. Это измерение может выполняться с различной точностью: чем больше бит используется для записи измеренной величины, тем выше будет точность измерения.

Чем подробнее измерения (иными словами, чем выше плотность горизонтальных линий), тем ближе к исходной кривой будет ее представление в виде прямоугольников сетки.

Возврат к аналоговому сигналу

Цифро-аналоговый преобразователь (англ. DAC — Digital-to-Analog Converter ) отвечает за преобразование цифрового аудио в аналоговый сигнал. Происходит преобразование, обратное аналогово-цифровому: нам известно определенное число точек на кривой, и мы хотим восстановить ее с помощью интерполяции — математического метода, позволяющего определить промежуточные значения между уже известными. Первой моделью интерполяции стала экстраполяция нулевого порядка, которая заключается в том, что значение во всех точках интервала считается одинаковым. Другим методом является экстраполяция первого порядка, при котором кривая аппроксимируется ломаной линией, соединяющей известные значения.

Слева— интерполяция нулевого порядка. При восстановлении значений на интервале предполагается, что они неизменны и принимаются равными левой границе интервала. Участок кривой аппроксимируется горизонтальной линией.

Справа— интерполяция первого порядка. Значения на интервале аппроксимируются прямой, соединяющей границы интервала.

* * *

БЕТХОВЕН , БАЙРОЙТ, НАЦИЗМ И РОЖДЕНИЕ CD

В 1980-е годы технология производства компакт-дисков была достаточно совершенной для выхода на массовый рынок. Лидерами аудиорынка и рынка электроники в то время были две компании: голландская Philips и японская Sony. Sony представила прототип компакт-диска диаметром 120 мм, на который можно было записать 74 минуты звучания. В свою очередь Philips разработала прототип диаметром 115 мм, на которой можно было записать 60 минут звука. Предпочтение было отдано прототипу Sony. Так был определен стандарт, который использовался повсеместно в течение следующих 30 лет.