Клауди Альсина - Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов

Большинство географических карт можно интерпретировать как графы, вершинами которых являются точки, где сходятся три линии и более, а ребрами — границы стран и территорий. Составители карт пытались раскрасить их так, чтобы разные страны и территории были окрашены в разные цвета. Учитывая число стран и ограниченное количество цветов, которые использовались при цветной печати, требовалось раскрасить карты так, чтобы в разные цвета были окрашены только страны с общими границами. Естественно, возник вопрос: какое минимальное число цветов необходимо, чтобы все страны с общими границами были окрашены в разные цвета? (Подразумевается, что точка не является границей.) Так как существует множество различных карт (карты стран, регионов, промышленных районов и так далее), то очевидно, что задачу нужно сформулировать в общем виде с помощью графов. Иными словами, нужно рассматривать карты, описывающие произвольный плоский граф.

Сначала обратимся к следующим фигурам. Для раскраски каждой из них в соответствии с заданными правилами требуется 1, 2, 3 и 4 цвета соответственно.

Заметим, что если мы также захотим раскрасить и внешнюю область, то нам понадобится соответственно 2, 3, 4 и… снова 4 цвета.

Следующие фигуры более сложны.

Сразу же становится понятно, что для их раскраски достаточно четырех цветов.

Обратите внимание, что в обоих случаях внешнюю область также можно раскрасить одним из этих четырех цветов (определите, каким именно). Разумеется, решение задачи о раскраске графа не изменится, если мы заменим исходный граф изоморфным ему.

Как выглядят карты (плоские графы), для раскраски которых достаточно всего двух цветов? А трех цветов? Ответ на эти вопросы нетруден, и его можно найти довольно быстро. Обратимся к теореме о двух красках, которая гласит: «Карту можно раскрасить двумя цветами тогда и только тогда, когда в соответствующем ей графе все вершины имеют четную степень».

Любопытно, что если карту можно раскрасить двумя цветами, то все вершины соответствующего графа будут иметь четную степень. Если в нем будет хотя бы одна вершина с нечетной степенью, то как минимум одна грань графа будет граничить с двумя гранями и для раскраски понадобится уже три цвета. Чтобы доказать обратное утверждение, нужно выполнить несколько действий. Сначала докажем, что если мы проведем на плоскости n линий случайным образом, то полученную карту можно будет раскрасить всего двумя красками (вспомните, например, шахматную доску).

Используем метод доказательства по индукции, который заключается в том, что мы докажем это утверждение для n = 1 и посмотрим, будет ли верным это утверждение для n + 1, если оно верно для n .

При n = 1 (а) доказательство тривиально. Допустим, что это утверждение верно для n прямых (b), и рассмотрим карту, на которой изображена n + 1 прямая (с). Если мы удалим одну из линий, то получим карту из n прямых, которую можно раскрасить двумя цветами (верно по индукции). Следовательно, при добавлении ( n + 1)-й прямой вверху (или справа) от добавленной прямой все цвета останутся без изменений, а с другой стороны от этой прямой все области изменят цвет на противоположный. Таким образом, карту из n + 1 прямой можно раскрасить всего двумя красками. С учетом соответствующих различий можно заметить, что любую карту из n окружностей, случайным образом распределенных на плоскости, также можно раскрасить двумя красками. И в случае с прямыми, и в случае с окружностями все вершины полученного графа будут иметь четную степень. В любом графе, вершины которого имеют четную степень, бóльшую двух, при удалении цикла получится граф, вершины которого по-прежнему будут иметь четную степень. Как и все графы такого типа, его можно будет представить в виде прямых или окружностей. Теорема о двух красках доказана.

Применительно к задачам раскраски во многих случаях интерес представляют только графы, степень каждой вершины которых не превышает 3. Если одна из вершин графа имеет степень больше 3, то можно провести окружность С с центром в этой вершине, которая не будет касаться никакой другой вершины, затем удалить элементы графа внутри этой окружности и получить новый граф с вершинами степени 3, соответствующими пересечениям С и исходных ребер. Если мы раскрасим полученную карту, а затем удалим построенную окружность и вернемся к исходному графу, то задача будет решена, как показано на следующих рисунках. Таким образом, в задачах о раскраске графов иногда можно рассматривать только плоские графы, каждая вершина которых имеет степень 3.