Клауди Альсина - Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов

Доказательство теоремы о трех красках сложнее, чем предыдущей, поэтому мы не будем приводить его здесь. Сама теорема звучит так:

« Плоский граф с вершинами степени 3 можно раскрасить тремя красками тогда и только тогда, когда все его грани ограничены четным числом ребер ».

* * *

ОХРАННИКИ В МУЗЕЯХ И РАСКРАСКА ГРАФОВ

В 1973 году, анализируя задачу о расположении охранников в залах музея, Виктор Клее задался вопросом: если музей имеет форму многоугольника с nсторонами, какое количество охранников необходимо для того, чтобы они могли просматривать все стены, не двигаясь с места? На первом рисунке изображен выпуклый многоугольник, который легко просматривается одним охранником, стоящим в углу. Однако в случае с невыпуклым многоугольником, изображенным на следующем рисунке, одного охранника уже недостаточно. Ответ задачи таков: для многоугольника с n сторонами достаточно [ n/3] охранников. (Знак [] обозначает целую часть отделения, то есть результат деления с отброшенными десятичными знаками.)

Любопытно, что в доказательстве используется граф, полученный триангуляцией зала музея (то есть разбиением многоугольника на треугольники). Вершины этого графа можно раскрасить тремя цветами так, что смежные вершины будут окрашены в разные цвета.

* * *

Итак, были открыты признаки графов, для раскраски которых достаточно двух или трех красок, и вскоре стало очевидно, что пяти цветов достаточно для раскраски любого графа. Однако оказалось очень сложно определить, достаточно ли четырех цветов для раскраски любого графа. В математике подобное случалось не раз: частный случай оказывался самым трудным.

В 1852 году Френсис Гутри, изучая различные карты, предположил, что их можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы страны с общими границами имели разные цвета. В то время Френсис уже завершил обучение в университете, поэтому он обратился к своему брату Фредерику, который изучал математику у известного преподавателя Огастеса де Моргана. Де Морган не смог дать ответ и познакомил с задачей своих коллег, среди которых был сэр Уильям Гамильтон. В 1878 году

Математики Френсис Гутри(слева), который предположил, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета, и Артур Кэли, который представил эту задачу Лондонскому математическому обществу.

Артур Кэли представил формальное изложение этой задачи на всеобщее рассмотрение в Лондонском математическом обществе.

В 1879 году была опубликована статья, в которой доказывалось, что четырех цветов достаточно. Автором остроумного доказательства был лондонский адвокат Альфред Кемпе. С 1879 по 1890 год (одиннадцать лет!) его решение считалось верным, а задача о четырех красках — решенной.

В 1890 году Перси Хивуд удивил всех, обнаружив неустранимую ошибку в доказательстве Кемпе. Требовалось найти новое доказательство. Сам Хивуд и многие другие математики потратили немало времен и сил, пытаясь решить эту задачу. Никому не удавалось найти карту, для раскраски которой требовалось бы пять красок. Поэтому было логичным предположить, что четырех красок должно быть достаточно для любой карты. Как часто бывает в математике, неудачные попытки решить одну задачу позволили получить результаты, применимые в других областях (геометрии, топологии, комбинаторике).

Любопытно, что было найдено решение этой задачи для карт, расположенных на поверхностях неправильной формы. Например, для тора (геометрического тела в форме бублика) нужно семь красок, для ленты Мёбиуса (чтобы изготовить ее, нужно склеить края вытянутого прямоугольника, предварительно развернув один из них) — шесть цветов. Также было найдено верное доказательство того, что для любой карты достаточно пяти цветов; были обнаружены характерные свойства карт, для раскраски которых достаточно всего двух или трех красок. Однако доказательство гипотезы о четырех красках (для карты на плоскости или на поверхности сферы) попрежнему не было найдено. Его пришлось ждать очень долго.