Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

* * *

Перед построением стереографической проекции диска на следующем рисунке обозначим через ψ угол ONA , равный углу OAN , и, поскольку сумма углов треугольника равна π , имеем:

С другой стороны, расстояние между N и А равно | NA | = 2 cos ψ по тригонометрической теореме косинусов (для данного треугольника со сторонами а, b и с и углом α, противолежащим стороне а , выполняется равенство а 2= Ь 2+ с 2— 2 Ьс· cosα). По определению косинуса имеем, что расстояние между N и А' — стереографической проекцией точки А — равно:

Чтобы лучше понять, как изменяется диск в стереографической проекции, проведем построение в два этапа. На первом этапе диск преобразуется в диск D' , лежащий в плоскости, параллельной D . Центром диска будет точка А' — стереографическая проекция точки А (см. следующий рисунок). В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса) имеем:

Первый этап построения стереографической проекции.

Второй этап заключается в построении проекции диска D' радиуса r' на плоскость проекции Т . В направлении «запад — восток» диск D' и плоскость Т пересекаются, следовательно, проекция отрезка будет иметь ту же длину, что и сам отрезок. Это означает, что искажение вдоль параллелей равно

так как мы вычислили искажение бесконечно малого отрезка длины r , расположенного вдоль параллели.

Рассмотрим, что произойдет с отрезками, расположенными в направлении «север — юг», и рассчитаем при этом искажение вдоль меридианов (см. следующий рисунок). Сначала заметим, что угол SA'N равен ( π /2) — ψ . Если мы будем считать, что | NA' | очень велико по сравнению с r' (изначально мы приняли размеры диска D бесконечно малыми), то можно предположить, что проекционные лучи параллельны. Следовательно, проекцией отрезка А'В' будет отрезок А'С , а отрезок В'С параллелен NA' . Угол А'СВ' , равно как и угол А'В'С , равен — ( π /2) — ψ . Следовательно, треугольник В'А'С равнобедренный. Как следствие, | А'С | = | А'В' | = r' . Таким образом, искажение вдоль меридианов и параллелей будет одинаковым. Более того, оно будет одинаковым во всех направлениях, а значит, стереографической проекцией D будет диск радиуса:

Это указывает, что стереографическая проекция является изогональной, то есть сохраняет величины углов.

Второй этап построения стереографической проекции.

В 1695 году английский математик и астроном Эдмунд Галлей(1656–1742) опубликовал первое доказательство конформности стереографической проекции.

Как мы уже указывали, конформные проекции сохраняют формы лишь на небольших участках, но не на всей карте. Форма границы страны или русла реки на карте определяется изменением направления, в котором мы проводим изображаемую линию. Если говорить математическим языком, их очертания определяет изменение касательного вектора рассматриваемой кривой. По этой причине сохранение величин углов обеспечивает локальное сохранение форм. Наглядным примером станет Гренландия, реальные очертания которой очень отличаются от изображения в проекции Меркатора. Однако если мы рассмотрим небольшие участки на побережье Гренландии, различия будут незначительными.

Задача изображения сетки меридианов и параллелей на карте, выполненной в полярной стереографической проекции, сводится к расчету расстояния от центра, на котором должны располагаться окружности, соответствующие параллелям, поскольку в азимутальных проекциях меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми, проходящими через центр карты. Так, радиус окружности — проекции параллели, расположенной на широте φ , — равен