Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

Пример решения представлен в следующей главе для уравнения модели Мальтуса, которое играет основную роль в демографии и при изучении динамики популяций. Если методы интегрального исчисления заведут нас в тупик, мы также сможем найти приближенное решение с помощью компьютера. Приближенное решение означает, что мы выберем желаемую точность результата и применим алгоритм, который позволит найти решение с точностью, превышающей указанную. Теория численного анализа гарантирует, что определенный алгоритм позволяет найти решение с наперед заданной (или более высокой) точностью.

Наиболее известные численные алгоритмы решения дифференциальных уравнений — это метод Эйлера и метод Рунге — Кутты. Эти методы используют не только математики, но и экологи, а также сотрудники фармакологических лабораторий. Метод Рунге — Кутты более известен и обеспечивает прекрасное соотношение между временем расчетов на компьютере и точностью результата. Метод Эйлера проще, но менее точен.

Дифференциальное уравнение Парка юрского периода

В 1950-е годы Уиллард Либби разработал интересный метод определения примерного возраста ископаемых. В основе метода Либби лежало измерение содержания радиоактивного изотопа углерода С-14 в изучаемом объекте, например, в ископаемом или в Туринской плащанице.

Американский химик Уиллард Либби(1908–1980) на обложке журнала Time.

С-14 — это изотоп углерода, концентрация которого в атмосфере Земли постоянна. Живые организмы в течение жизни накапливают углерод С-14, получая его с дыханием и при питании другими живыми существами. Каким бы путем С-14 ни попадал в организм, его содержание также будет неизменным. После смерти накопление С-14 прекращается, и его концентрация в тканях начинает постепенно снижаться.

Чтобы получить формулу для определения возраста объектов, используем уравнение роста из модели Мальтуса. Обозначим через у содержание С-14 в определенный момент времени t , через у 0 — содержание С-14 в ископаемом. Кроме того, искомая формула будет включать r — так называемую константу распада, известную для всех изотопов: у = y 0e rt .

Так как известно, что период полураспада С-14 составляет 5600 лет, предыдущее выражение примет вид:

После ряда преобразований получим у = у 0е -0,00012378 t . Выразив время t из этого выражения, найдем формулу, с помощью которой палеонтологи и археологи определяют возраст ископаемых и археологических находок:

Это выражение можно использовать в случаях, когда возраст анализируемого объекта не превышает 50 тысяч лет.

К примеру, мы обнаружили кость доисторического животного, содержащую 1/100 изотопа С-14. Чему равен возраст находки? По условию задачи, с будет равно 100. Подставив это значение в исходное выражение, имеем:

Можно сделать вывод: возраст кости составляет примерно 37 тысяч лет.

В 1798 году Томас Роберт Мальтус опубликовал книгу «Эссе о росте народонаселения». Согласно его гипотезе, в какой-то момент численность населения Земли будет расти в геометрической прогрессии, то есть экспоненциально. При этом объем продовольственных и любых других ресурсов возрастает в арифметической прогрессии, то есть линейно. Так, численность населения описывается последовательностью 2 (2 1), 4 (2 2), 8 (2 3), 16 (2 4), 32 (2 5), 64 (2 6) и т. д., количество продовольственных ресурсов — 2, 3, 4, 3, 6 и т. д. Следовательно, наступит момент, когда высокая рождаемость, особенно среди рабочего класса, приведет к недостатку продовольствия (отметим, что марксисты считали теории Мальтуса нападками на рабочий класс).

Англиканский священник Томас Роберт Мальтус(1766–1834). Справа представлены две модели роста: экспоненциальная (1) и линейная (2).

Допустим, что мы применили модель Мальтуса, в частности у' = r·у , к некоторой популяции животных или микроорганизмов. В конечном итоге в этой модели скорость роста населения у пропорциональна численности населения у . Таким образом, применив математические методы, можно преобразовать исходное дифференциальное уравнение, как показано ниже. Во-первых, нужно записать уравнение в следующем виде: dy / dt = r·у , где r — параметр, отражающий рост населения с постоянной скоростью, которая не меняется в последующих поколениях. Этот параметр называется коэффициентом роста населения.