Хоакин Наварро - Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

Условия, которым удовлетворяют решения уравнения Матиясевича, согласуются с условиями гипотезы JR . Следовательно, мы можем говорить уже не о гипотезе, а о доказанной теореме. Неуловимое множество JR было найдено, следовательно, десятая проблема Гильберта решена: искомого чудесного алгоритма не существует.

Таким образом, путем невероятных умственных усилий удалось доказать: не существует алгоритма, позволяющего определить, имеет ли решение произвольное диофантово уравнение. Всегда найдется уравнение, перед которым спасует любой алгоритм.

Решение десятой проблемы Гильберта основано на тонком различии между перечислимым и вычислимым множеством. Матиясевич, Робинсон, Дэвис и Патнем доказали прекрасный и удивительный результат:

Множество является перечислимым (рекурсивно перечислимым) тогда и только тогда, когда оно является диофантовым .

Однако суть проблемы Гильберта заключается в том, что не все перечислимые множества являются вычислимыми. Достаточно найти одно-единственное перечислимое, но не вычислимое множество, чтобы дело приняло совершенно иной оборот. Это множество будет диофантовым, но соответствующее диофантово уравнение нельзя будет решить никаким алгоритмом.

* * *

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ

Английский математик Джон Пелль(1611–1685) вошел в историю благодаря уравнению, носящему его имя:

x 2— d( y+ 1) 2 = 1.

Это уравнение имеет целые решения тогда и только тогда, когда d не является квадратом. Согласно определениям, приведенным во врезке, посвященной машине Тьюринга, множество чисел, которые не являются квадратами, D = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10…}, является диофантовым.

* * *

Жизнь после десятой проблемы

На день рождения Джулия получила торт с зажженными свечками, задула их и загадала свое обычное желание: дожить до того дня, когда будет найдено решение проклятой проблемы под номером 10, и не важно, кто его найдет и каким будет ответ — положительным или отрицательным. Пока Джулия Робинсон ожидала решения десятой проблемы Гильберта, она успела получить множество почетных наград. Крупнейшей в денежном выражении стала стипендия фонда МакАртура, присужденная ей в 1983 году сроком на пять лет и составлявшая 60 тысяч долларов.

Джулия Робинсон, среди прочего, стала первой женщиной-математиком, принятой в члены Национальной академии наук США (1975), и первой женщиной — президентом Американского математического общества (1978). Для любого американского математика подобный пост является вершиной карьеры, однако он подразумевает определенные обязанности. Прежде чем принять назначение, Джулия посоветовалась с друзьями и родственниками и пришла к выводу, что не имеет морального права отказаться. По крайней мере, эта должность позволила ей лично встретиться на Западе, в Калгари (1982), с Юрием Матиясевичем (они познакомились еще в Советском Союзе) — советские бюрократы ревностно контролировали все заграничные командировки и выпускали советских граждан за границу очень редко и только туда, куда разрешала непредсказуемая логика партии. Во время визита Джулии в СССР математик Юрий Линник(1915–1972) заметил, что она — второй по популярности Робинсон в Советском Союзе; первым был Робинзон Крузо. Разумеется, Юрий Матиясевич и Джулия Робинсон могли переписываться и публиковать совместные статьи, ведь, как известно, в единстве сила, а расстояние во много тысяч километров не было для них преградой.

* * *

«ЗОЛОТОЙ РЕБЕНОК» ЮРИЙ МАТИЯСЕВИЧ (Р. 1947 Г.)

Нет никаких сомнений, что Юрий Матиясевич был одаренным ребенком. В 17 лет он стал победителем математической олимпиады, проходившей не где-нибудь, а в Москве. Он является почетным доктором многих университетов и членом различных академий наук, однако для математиков все эти регалии не имеют особого значения. Для них важно, что Матиясевич внес основной вклад в решение десятой проблемы Гильберта, в теории графов его именем назван полином, а его число Эрдёша равно 2. Матиясевич заинтересовался десятой проблемой Гильберта в 1965 году, в 18 лет, спустя всего год после поступления в университет.

В 22 года он нашел ее решение, что стало большим событием в мире математики. Джулия Робинсон писала в письме Матиясевичу: «Теперь, когда я знаю, что это правда, все это кажется мне прекрасным и удивительным. Если тебе в самом деле всего 22 года, мне доставляет особое удовольствие думать, что когда я сформулировала свою гипотезу, ты был еще ребенком, и мне следовало лишь дождаться, пока ты подрастешь».