Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

— дистрибутивность.

Доказательство этих свойств следует непосредственно из определений. Наличие структуры поля позволяет работать с комплексными числами, используя все возможности, которые предоставляет алгебра.

Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик и физик. Речь идет о главном математике XVIII века и одном из самых великих математиков всех времен. Эйлер долгие годы жил в России, где был почетным гостем Екатерины I и ее придворных (в то время в России существовала традиция приглашать наиболее крупных ученых в Академию наук). Эйлер осуществил важные открытия в таких областях, как вычисления, или теория графов (графы — это математическая модель множества узлов и их соединений с помощью ребер, ориентированных либо нет; они имеют широкое применение для представления сети дорог или планов городов). Эйлер также ввел значительную часть современной терминологии и математических обозначений, например понятие математической функции. Он определил число е, одну из самых используемых констант, породившую натуральные логарифмы. Также Эйлер известен своими работами в области механики, оптики и астрономии. Он входит в число наиболее плодовитых ученых: полное собрание его сочинений могло бы занять от 60 до 80 томов. И действительно, даже через 50 лет после смерти математика Петербургская академия наук все еще публиковала статьи Эйлера, хранящиеся в ее архивах. Лаплас, говоря о влиянии ученого на последующих математиков, заметил: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он учитель всех нас».

В ту эпоху превалировала мысль о том, что числа -- это объекты, которые можно складывать и умножать, но не изображать. И потребовалось 50 лет для того, чтобы Гаусс решился открыть коллегам графические леса, которыми он воспользовался в диссертации. Эта теорема так захватила Гаусса, что он нашел еще три ее доказательства. Второе возникло через год после защиты, и оно дополняло некоторые пропуски первоначального варианта. Третье доказательство, выдвинутое в 1815 году, было основано на идеях Эйлера, в нем не применяются геометрические положения, и это первая серьезная попытка чисто алгебраического доказательства с открытым использованием комплексных чисел. Тут же Гаусс критикует попытки других математиков, основанные на аналитических методах. Последнее доказательство было получено в 1849 году, в связи с 50-летием докторской диссертации. Оно очень похоже на первое, но в этот раз Гаусс приводит все геометрические рассуждения. Чтобы понять важность диссертации Гаусса, достаточно отметить, что доказательство теоремы повергло в прах Эйлера, Лагранжа и Лапласа — трех величайших математиков в истории.

На основе работ Гаусса можно было подступиться к поиску корней многочлена любой степени. Для уравнений до пятой степени (n = 5) были найдены формулы нахождения корней с помощью коэффициентов самого многочлена, что называется решением в радикалах. Формулы были того же типа, что мы использовали для решения уравнений второй степени, однако для уравнений пятой степени их никак не могли найти. Решение нашлось у очень молодого французского математика Эвариста Галуа (1811-1832), который погиб в результате дуэли, едва ему исполнился 21 год. Галуа доказал, что невозможно решить уравнения пятой степени с помощью коэффициентов самого многочлена, и нашел альтернативные методы нахождения корней, пользуясь результатами Гаусса.

Галуа представил свои математические результаты, известные как теория Галуа, в Парижскую академию наук в 1830 году, чтобы получить премию по математике. Эта работа так и не была оценена, поскольку попала в руки Огюстена Луи Коши (1789-1857); тот признал себя недостаточно компетентным для ее разбора и передал заметки Жозефу Фурье (1768— 1830), который, как секретарь академии, должен был найти нового специалиста для анализа. Смерть Фурье оставила эти поиски незавершенными, статья Галуа затерялась и так и не была опубликована. Однако за ночь до дуэли Галуа, который понимал, что его шансы выжить в поединке невысоки, и в то же время осознавал важность своих открытий, торопливым почерком написал заметки, в которых обобщалось то, что известно как теория Галуа о решении уравнений. Именно это его письменное завещание вошло в историю и позволило последующим математикам восстановить результаты молодого гения. Известно, что в том году премию академии получили Нильс Хенрик Абель (1802-1829) и Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851), двое из самых талантливых математиков своего времени. Однако вопрос, одержали бы они победу, если бы исходная работа Галуа не потерялась, так и останется без ответа. Можно лишь утверждать, что открытия молодого Галуа в математике можно сравнить лишь с открытиями самого Гаусса.