Хоакин Наварро - Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Эрдёш стал живой легендой, а некоторые математические понятия, связанные с ним, прочно вошли в науку, как, например, предложенное в шутку число Эрдёша, которое теперь изучается в теории графов. Число Эрдёша для любого ученого X определяется как наименьшее число Е( Х ) такое, что для этого ученого найдется хотя бы один соавтор одной из его статей с числом Эрдёша Е( Х ) — 1. Это рекурсивное определение заканчивается, когда мы определяем число Эрдёша, равное О, единственным обладателем которого является сам Эрдёш. Ученый имеет число Эрдёша, равное 1, если он написал статью в соавторстве с самим Эрдёшем. Очевидно, что число Эрдёша, равное 2, имеют те, кто написал статью в соавторстве не с Эрдёшем, а с одним из тех, кто имеет число Эрдёша, равное 1. Те, кто написал статью в соавторстве с ученым X , имеющим число Эрдёша Е( Х ) = 2, имеют число Эрдёша, равное 3, и так далее. Тот, кто не связан с этой цепочкой соавторов, имеет бесконечно большое число Эрдёша. Число Эрдёша — это в высшей степени математический способ классификации математиков.

Множество математиков с числом Эрдёша, равным 1, содержит 311 человек. В их число входит знаменитый бейсболист Хэнк Аарон — по совету математика Карла Померанса(род. 1944) Эрдёш оставил ему автограф на бейсбольном мяче во время церемонии вручения степени почетного доктора. Кто-то подсчитал, что 90 % ученых современности имеют число Эрдёша, меньшее или равное 8. Наибольшее известное на сегодняшний день число Эрдёша равно 15. Следует отметить, что старейшим математиком, принадлежащим к этой блестящей компании, является Рихард Дедекинд(1831–1916) с числом Е (Дедекинда) = 7.

«Мой разум открыт» — говорил Пал Эрдёшдрузьям, когда стучался в их двери, чтобы погостить у них. С собой ученый брал только чемодан и смену белья, поскольку все остальное — его ум и готовность решать самые запутанные задачи — были при нем всегда. После этой фразы часто звучало и другое его изречение: «Another roof, another proof» («Еще одна крыша, еще одно доказательство»).

Все, что не было связано с математикой, вызывало у Эрдёша просто мучительную скуку. Как-то раз его пригласили на ужин, и когда ученый убедился, что гости действительно собрались ужинать, а не говорить о математике, то уткнулся носом в тарелку и заснул. Существует еще одна история, рассказанная польско-американским математиком Марком Кацом(1914–1984) . Один из семинаров Каца был посвящен теме, не слишком интересной Эрдёшу, и тот благополучно задремал. Однако в какой-то момент Кац зашел в тупик, не в силах решить задачу о делителях числа, и ровно в этот же момент Эрдёш проснулся, словно хищник, почуявший добычу, и тут же погрузился в задачу. Кац еще не закончил говорить, как Эрдёш триумфально вскинул голову: задача была решена.

Эта история началась благодаря Альберту Вилански, который описал новый класс чисел, взяв за основу телефон своего зятя — по крайней мере, именно так изложены события в книгах по теории чисел. У зятя Вилански, некого Гарольда Смита, был номер телефона 4937775. Сумма его цифр равна 42:

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42.

Затем Вилански разложил номер телефона на простые множители:

4937 775 = 3·5 2·65 837

и записал его без показателей степени, точно так же, как это делают школьники:

4937 775 = 3·5·5·65 837.

Сюрприз! Сумма всех цифр этих чисел вновь равнялась 42:

3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

Другой не обратил бы на это внимания, но Вилански испытал настоящее озарение. Так появились числа Смита. Число Смита (мы приведем его определение в десятичной системе счисления, но его можно определить и в любой другой) — это составное число, для которого при разложении на множители и записи в указанном виде сумма цифр исходного числа и сумма цифр его простых сомножителей равны. Изучение чисел Смита оказалось довольно плодотворным, и сегодня этим занимаются сотни и тысячи математиков. Известно, что чисел Смита бесконечно много (недаром это весьма распространенная фамилия в англоязычных странах), бесконечное множество из них является палиндромами, и даже известно одно любопытное число Смита

9·10 1031(10 4594+ 3·10 2297+ 1) 1476·10 3913210,

где R 1031( R означает «репьюнит» от английского «повторяющаяся единица») обозначает целое число, записанное как 1031 единица подряд, или, что аналогично