Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

Сумма квадратов первых пяти чисел: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

Формула доктора Килера:

Для математика это не особо трудная задача, но не забывайте, что доктор Килер таковым не был. Кроме того, он решил ее с помощью оригинального и в высшей степени интуитивного подхода, короткое формальное объяснение которого, сформулированное Кеном Килером, представлено в Приложении 3.

Именно увлеченность отца математикой стала одной из причин, побудивших Кена Килера изучать прикладную математику в университете, а затем получить по этому предмету докторскую степень. Однако потом для него настали трудные времена, подталкивающие сделать выбор: Кен буквально разрывался между научной карьерой и попытками попробовать свои силы в написании комедий – еще одной области, которой он увлекался. Хотя Килер получил престижную работу в AT&T Bell Labs в Нью-Джерси, еще раньше он отправил резюме продюсерам шоу Late Night with David Letterman («Позднее шоу с Дэвидом Латтерманом»). Это был переломный момент. Когда Килеру предложили присоединиться к команде сценаристов шоу, он бросил научную работу и никогда об этом не пожалел. Килер написал сценарии для телесериалов «Крылья» (Wings) и «Критик», а затем влился в команду сценаристов мультсериала «Футурама», работая бок о бок с десятком других авторов, увлеченных математикой. Вряд ли еще где-либо в Голливуде привязанность Килера к числу 1729 получила бы столь полное понимание.

Килер внес еще один математический вклад в сериал «Футурама» – кинотеатр под названием Loews ℵ 0-Plex (кинотеатр ℵ 0-плекс Loews), который впервые появляется в эпизоде «Бешеный Бендер» (Raging Bender, сезон 2, эпизод 8; 2000 год). В ХХ веке компания Loews владела крупнейшей сетью многозальных кинотеатров (мультиплексов), но обозначение «ℵ 0-плекс» подразумевает, что в XXXI столетии масштаб ее деятельности вырос многократно. Обозначение «ℵ 0» (произносится как «алеф-ноль» ) – это математический символ, который представляет бесконечность. Следовательно, название кинотеатра означает, что в нем бесконечное число залов. По словам Килера, когда кинотеатр ℵ 0-плекс Loews впервые появился в «Футураме», в черновом варианте сценария был комментарий, который гласил, что этот кинотеатр с бесконечным числом залов «все равно был бы недостаточно большим, для того чтобы показать фильм “Рокки” и все его сиквелы одновременно».

Хотя символ ℵ 0наверняка неизвестен большинству читателей, еще один символ для обозначения бесконечности – ∞ – мы все прекрасно знаем. Вы можете вполне резонно спросить, чем же они отличаются Символом ∞ обозначается общая концепция бесконечности, тогда как символ ℵ 0применяется только к бесконечности определенного типа!

Концепция «бесконечности определенного типа» может показаться неправдоподобной, но представленная в одной из предыдущих глав история об отеле Гильберта продемонстрировала два очевидных вывода:

1. Бесконечность + 1 = бесконечность

2. Бесконечность + бесконечность = бесконечность

Вывод о том, что ничего нет больше бесконечности, а также что у всех бесконечностей, так сказать, одна и та же величина, был бы слишком прост. Однако на самом деле бесконечности бывают разных размеров, что можно продемонстрировать с помощью достаточно простого доказательства.

Давайте для начала рассмотрим множество десятичных чисел в диапазоне от 0 до 1. К ним относятся как простые десятичные числа, такие как 0,5, так и числа с гораздо б о льшим количеством десятичных знаков, например 0,736829474638…. Очевидно, что таких десятичных чисел бесконечное множество, поскольку у любого десятичного числа (скажем, 0,9) есть число еще больше (0,99), затем еще больше (0,999) и т. д. Далее мы можем сопоставить бесконечное множество десятичных чисел от 0 до 1 с бесконечным множеством натуральных чисел 1, 2, 3, …. Одно бесконечное множество больше другого или они имеют одинаковую величину?

Для того чтобы определить, какая из бесконечностей больше (в случае, если это вообще возможно), давайте представим, что произойдет, если мы попытаемся сравнить все натуральные числа со всеми десятичными числами от 0 до 1. На первом этапе следует составить список всех натуральных чисел, а затем – отдельный список всех десятичных чисел от 0 до 1. В контексте данного доказательства все натуральные числа должны располагаться по порядку, тогда как десятичные могут находиться в любом порядке. Затем эти списки необходимо разместить рядом друг с другом, по принципу один к одному.