Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Вернемся к единице. Единица единственное из натуральных чисел, которое порождает новые натуральные числа только при сложении, но не при умножении или возведении в степень. При умножении на единицу нового числа не получается, единица в любой степени остается единицей! У древних греков единица служила основой всех других натуральных чисел и с этим не поспоришь. Прибавление единицы к числу меняло его четность. Изменение четности числа от прибавления единицы можно посмотреть в одном очень интересном алгоритме. Алгоритм, позволяет за конечное число шагов-операций превратить любое натуральное число в единицу. Назовем его Алгоритм возвращения к началу . Алгоритм циклический, шаги повторяются до получения единицы. Берем произвольное натуральное число.

Шаг 1. Если взятое число четное, нужно разделить его на 2. Если число нечетное, перейти к шагу 2.

Шаг 2. Если число нечетное, нужно умножить его на 3 и прибавить 1. После чего перейти к шагу 3.

Шаг 3. Вернуться в начало алгоритма и повторять вышеописанные действия циклически, пока не получится единица.

Как видите, второй шаг превращает нечетное число в четное число в результате прибавления единицы. Возьмем произвольное двузначное число, например, 53. Число нечетное – выполняем шаг 2. Получаем 160 – возвращаемся и делаем шаг 1, получаем 80, продолжаем 40, 20, 10, 5. Снова шаг 2 – 16. Шаг 1: 8, 4, 2, 1. Казалось бы, при нечетности числа, умножая его на три, алгоритм будет уводить нас к большим числам, но нет, в конечном итоге приходим к единице. Считается, что по этому алгоритму любое число можно вернуть к «неделимой сущности», то есть, к единице. Ни один специалист по теории чисел пока не смог доказать, что такой алгоритм заканчивается единицей для любого первоначально взятого натурального числа. Второй, не выясненный вопрос, связанный с этим алгоритмом: почему для одних чисел последовательность получаемых значений короткая, а для других слишком длинная. Показанная выше последовательность имеет вид: 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Всего 12 чисел, включая начальное число и конечную единицу. Возьмем для примера число 25, значительно меньше 53, и выпишем получаемую последовательность чисел: 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Число меньше, а шагов больше в два раза. Теперь испытаем число 27, недалеко отстоящее от 25: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, … . Честно говоря, мне уже надоело, последовательность получается длинная-длинная. В ней встретится даже четырехзначное число больше девяти тысяч. В конечном итоге она придет к единице, но почему так долго, в чем отличие начальных чисел 25 и 27?

Если кто-то заинтересуется исследованием этого алгоритма и захочет поэкспериментировать с ним, то можно видоизменить второй шаг, делая в нем деление полученного четного числа на 2 и только потом возвращение к шагу 1. Это сократит ряд членов последовательности, приводящей к единице. Шаг 2. Если число нечетное, нужно умножить его на 3, затем прибавить 1 и результат поделить на 2. После чего перейти к шагу 3. Можно посмотреть, как изменится алгоритм, если на втором шаге умножать не на 3, а на другое простое нечетное число. Так уже на первых страницах повествования появились интересные и еще не решенные вопросы, которые ждут своих исследователей.

После лирического отступления с интересным алгоритмом вернемся к математическим операциям с натуральными числами. Все перечисленные ранее действия или операции называются бинарными (приставка би от слова два , по числу аргументов арифметической операции), так как в них всегда два исходных компонента: два слагаемых, уменьшаемое и вычитаемое, два сомножителя, делимое и делитель, основание и степень, два сравниваемых между собой числа. Для всех действий, кроме возведения в степень придуманы свои знаки операций, которые ставятся между исходными компонентами:

a + b ; a - b ; a · b ; a : b ; a b ; a < b ; a > b ; a = b .

Возведение в степень, аристократ среди действий с числами, показывается не с помощью специального знака, а особой позиционной записью a b . Аристократизм этого действия проявляется и в том, что у него, в отличие от сложения и умножения нет переместительного закона. От перестановки слагаемых сумма не меняется, от перестановки сомножителей не меняется произведение, но стоит поменять местами основание и показатель степени, и равенства нет: