Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

30 = 2 220 422 932³ + (–283 059 965)³ + (–2 218 888 517)³.

То есть мы не можем систематически просмотреть ограниченное число вариантов, как в случае, когда рассматриваем только положительные кубы.

Эксперименты привели нескольких математиков к гипотезе о том, что всякое целое число есть сумма 4 (положительных или отрицательных) целых кубов. Пока истинность этого утверждения окончательно не установлена, хотя свидетельств в его пользу хватает. Компьютерные расчеты подтверждают, что любое положительное целое число вплоть до 10 млн есть сумма 4 кубов. В. Демьяненко доказал, что любое число, которое нельзя представить в виде 9 k ± 4, всегда представимо как сумма 4 кубов.

У леопардов есть пятна, у тигров – полосы, а львы щеголяют ровным цветом. Почему? Все эти варианты кажутся какими-то случайными, как будто на распродаже из списка в «Каталоге больших кошек» эволюция выбирает для каждой самый красивый вариант окраски шкуры. Но накопилось уже немало свидетельств в пользу того, что дело обстоит совершенно иначе. Уильям Аллен с коллегами исследовал, как математические правила, определяющие узоры и орнаменты, соотносятся с кошачьими привычками и средой обитания и как это влияет на эволюцию расцветок.

Самая очевидная причина обзавестись разноцветной шкурой – маскировка. Если кошка живет в лесу, пятна или полосы сделают ее малозаметной среди теней и световых пятен. Напротив, кошек, которые обитают на открытом месте, было бы видно лучше, если бы у них на шкуре был яркий рисунок. Однако теории такого рода не намного лучше простых сказок, если их невозможно подтвердить реальными данными. Экспериментальная проверка затруднительна: представьте, что вы хотите закрашивать полоски на тиграх на протяжении нескольких поколений или снабдить тигров и их потомство гладкой шкурой, чтобы посмотреть, что из этого получится. Альтернативных теорий сколько угодно: может быть, рисунок на шкуре привлекает партнера – или просто связан естественным образом с размерами животного.

Математическая модель кошачьей раскраски дает возможность проверить теорию маскировки. Некоторые расцветки, такие как леопардовые пятна, очень сложны, причем сложны по такому типу, который тесно связан с маскировочной ценностью окраски. Поэтому исследователи классифицировали варианты окраски с использованием математической схемы, придуманной Аланом Тьюрингом; согласно этой схеме рисунок определяется химическими веществами, которые реагируют между собой и расплываются по поверхности развивающегося зародыша.

Эти процессы можно характеризовать конкретными числами, определяющими скорость диффузии и тип реакции. Эти числа действуют как координаты в «пространстве маскировки» – множестве всех возможных узоров, подобно тому как широта и долгота дают координаты на поверхности Земли.

Исследователи соотносят эти числа с наблюдаемыми данными у 35 различных видов кошачьих: какой ландшафт эти кошки предпочитают, что едят, охотятся днем или ночью. Статистические методы выявили значимую связь между этими переменными и узорами на кошачьих шкурах. Результаты показывают, что узоры тесно связаны с закрытыми ландшафтами, такими как лес. Животные открытых пространств, таких как саванны, с большей вероятностью имеют гладкую шкуру, как львы. Если нет, то узор на шкуре обычно несложен. А вот животные, которые много времени проводят на деревьях, как леопарды, с большей вероятностью имеют узорчатые шкуры. Более того, их узоры, как правило, сложны – это не просто пятна или полосы. Этот метод объясняет также, почему черные леопарды (так называемые пантеры) встречаются достаточно часто, а вот черных гепардов не бывает.

Данные откровенно противоречат некоторым теориям, альтернативным маскировочной. Размеры кошек и размеры их добычи мало влияют на расцветку. Кошки, ведущие общественный образ жизни, с той же вероятностью оказываются узорчатыми или гладко окрашенными, как и кошки-одиночки, так что отметки на шкуре, вероятно, не имеют ценности в качестве социальных сигналов. Исследование не доказывает, что отметки на шкурах появились в процессе эволюции только ради маскировки, но позволяет предположить, что маскировка сыграла здесь ключевую эволюционную роль.

Львы окрашены ровно, потому что гуляют по открытым равнинам. Леопарды пятнисты, потому что такой рисунок труднее заметить в лесу.