Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Эти три области строятся шаг за шагом в ходе бесконечного процесса. Начинаем с трех квадратных областей.

Затем расширяем первую область, добавив дорожку, которая обойдет вокруг всех трех областей. Делаем это так, чтобы каждая точка на границе любого из квадратов лежала близко к дорожке. Проследим также, чтобы дорожка не замыкалась сама на себя, оставив дыру в получившейся области.

Затем расширяем вторую область, добавляя к ней более узкую тропку, которая обходит вокруг всех трех областей, построенных до сих пор.

Продолжаем в том же духе, прокладывая еще более узкую тропинку от третьей области. Затем возвращаемся к первой, добавляем к ней еще более узкую тропинку и т. д.

Повторяем это построение бесконечное число раз. Получившиеся области многократно окружены бесконечно сложной сетью бесконечно узких тропинок. Но поскольку с каждым шагом области подходят все ближе ко всему, построенному до того, в конечном итоге все три области имеют одну и ту же (бесконечно сложную) границу.

Первоначально озера Вады были придуманы с целью показать, что топология плоскости не так проста, как можно вообразить. Много лет спустя выяснилось, что такие области возникают сами собой в численных методах решения алгебраических уравнений. К примеру, кубическое уравнение x ³ = 1 имеет лишь одно действительное решение x = 1; кроме того, у него есть два комплексных решения где =√−. Комплексные числа можно представить как точки на плоскости, где число x + i y соответствует точке с координатами ( x, y ).

Стандартный метод нахождения численных аппроксимаций начинается со случайно выбранного комплексного числа; затем особым образом вычисляется второе число, а затем процесс повторяется, пока числа не сблизятся. Результат, полученный таким образом, близок к решению. К какому именно из трех решений он близок, зависит от того, где вы начинаете, и происходит это весьма хитроумным образом. Предположим, мы окрасим точки на комплексной плоскости в соответствии с тем, к какому решению они ведут: пусть, к примеру, это будет серый цвет, если решение x = 1, светло-серый, если решение и темно-серый, если решение Тогда точки, окрашенные в заданный оттенок серого, обозначат область, и можно доказать, что все три области имеют одну и ту же границу .

В отличие от построения Вады, области здесь не являются связными: они разбиваются на бесконечное множество отдельных кусочков. Однако поразительно, что области такой сложности возникают естественно в такой фундаментальной задаче численного анализа.

– Необычайно! – воскликнул я.

Сомс бросил в мою сторону недовольный взгляд, очевидно раздраженный тем, что его прервали, – в тот момент он с упоением копался в своей обширной коллекции гипсовых отпечатков беличьих следов.

– Ответ кажется очевидным, но тем не менее, судя по всему, неверен! – воскликнул я.

– С очевидным это бывает, – заметил Сомс. – В смысле, оказывается неверным, – добавил он тоном пояснения.

– Слышали когда-нибудь о Джан-Франческо Малфатти? – спросил я.

– Убийца с топором?

– Нет, Сомс, это был Фрэнк Макавити по прозвищу Хакер.