Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Для примера рассмотрим уравнение z 3=x 2+y 2. Чтобы найти все его решения, мы будем исходить из того, что обязательным условием (ключевой формулой) должно быть z=a 2+b 2, т.к. правая часть исходного уравнения не может быть получена иначе как произведение чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов. Этот вывод основан на том, что произведение чисел, состоящих из суммы двух квадратов, во всех случаях даёт число, также состоящее из суммы двух квадратов . Верно и обратное: если дано составное число, состоящее из суммы двух квадратов, то оно не может иметь простые множители, не состоящие из суммы двух квадратов. В этом легко убедиться из тождества

(a 2+b 2)(c 2+d 2)=(ac+bd) 2+(ad−bc) 2=(ac−bd) 2+(ad+bc) 2

Тогда из (a 2+b 2)(a 2+b 2)=(aa+bb) 2+(ab−ba) 2=(a 2 −b 2) 2+(ab+ba) 2следует, что квадрат числа, состоящего из суммы двух квадратов, даёт не два разложения на сумму двух квадратов, (как это должно быть в соответствии с тождеством), а только одно, поскольку (ab−ba) 2=0, что не является натуральным числом, иначе любое квадратное число после прибавления к нему нуля можно было бы формально считать суммой двух квадратов. Однако это не так, поскольку существуют квадраты, которые не могут состоять из суммы двух квадратов. Как установил Пьер Ферма, таковыми являются все числа, содержащие хотя бы один простой множитель типа 4n−1. Теперь из a 2−b 2=c; ab+ba=2ab=d; (a 2+b 2) 2=c 2+d 2следует итоговое решение:

z 3=(a 2+b 2) 3=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=x 2+y 2

где a, b любые натуральные числа, а все остальные вычисляются как c=a 2−b 2; d=2ab; x=ac−bd; y=ad+bc (либо x=ac+bd; y=ad−bc).

Таким образом, мы установили, что исходное уравнение z 3=x 2+y 2имеет бесчисленное множество решений в целых числах, а для конкретных заданных чисел a, b – два решения.

Из этого примера также понятно, почему одна из теорем Ферма утверждает, что:

Простое число типа 4n+1 и его квадрат только один раз раскладываются на сумму двух квадратов, его куб и биквадрат два раза, его пятая и шестая степени три и т.д. до бесконечности .

Учёный мир впервые узнал о ВТФ после первой публикации в 1670 г. «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма, (см. рис. 3 и рис. 96 из Приложения V). И с той поры, т.е. в течение трёх с половиной столетий, наука никак справиться с этой задачей не может. Более того, может быть именно поэтому ВТФ и стала объектом беспрецедентной фальсификации в истории математики. В этом очень легко убедиться, поскольку основные доводы «доказательства» ВТФ 1995 г. хорошо известны и выглядят следующим образом.

Если бы ВТФ была неверна, то существовала бы эллиптическая «кривая Фрая» (???) y 2=x(x−a n)(x+b n), где a n+b n=c n. Но Кеннет Рибет (Kenneth Ribet) доказал, что такая кривая не может быть модулярной. Следовательно, достаточно получить доказательство гипотезы Танияма – Симура о том, что все эллиптические кривые должны быть модулярны, чтобы оно стало и доказательством ВТФ. Его предоставил в 1995 году Эндрю Вайлс, который и стал первым учёным, якобы доказавшим ВТФ.

Однако на поверку оказывается, что «кривая Фрая» и вместе с ней работы Рибета и Вайлса вообще никакого отношения к ВТФ не имеют!!!

44А по части «доказательства» Э. Вайлса гипотезы Танияма – Симура, он и сам признал 45, что нужно очень много учиться, (естественно, у Вайлса), чтобы понимать все его нюансы, изложенные аж на 130 страницах (!!!) научного журнала «Annals of Mathematics». Вполне естественно, что после появления столь экзотического «доказательства», учёные от такого издевательства над наукой никак не могут прийти в себя, Интернет изобилует всякими опровержениями 46, и нет никаких сомнений в том, что какого-либо общепризнанного доказательства ВТФ до сих пор так и не существует.

Особая значимость ВТФ состоит в том, что, по сути, это один из простых случаев сложения степеней, когда только сумма двух квадратов может быть квадратом, а для более высоких степеней такое сложение невозможно. Однако согласно теореме Варинга-Гилберта, любое натуральное число, (в т. ч. и целая степень), может быть суммой одинаковых, (или таких же), степеней 47. И вот эта, куда более сложная и не менее фундаментальная теорема была доказана значительно раньше, чем ВТФ.

Отметим также и тот факт, что ВТФ привлекает к себе особое внимание вовсе не потому, что эта задача простая на вид, но очень трудная для решения. Есть и значительно более простые на вид задачи, которые не то, чтобы решить, но и как подступиться к ним никто толком не знает 48. ВТФ особенно выделяется среди других задач тем, что попытки найти её решение приводят к бурному росту новых идей, которые становятся импульсами для развития науки. Однако на этом пути было столько всего наворочено, что даже и в очень объёмистых исследованиях всё это не удается систематизировать и объединить 49.

Читать дальше