Джордан Элленберг: Как не ошибаться. Сила математического мышления

Так вот, на самом деле все обстоит иначе. Компания Savant Capital в 2006 году провела исследование {9} 9 Amy L. Barrett, Brent R. Brodeski . Survivor Bias and Improper Measurement: How the Mutual Fund Industry Inflates Actively Managed Fund Performance ( http://www.etf.com/docs/sbiasstudy.pdf ). , результаты которого не только проливают свет на эти данные, но и действуют несколько отрезвляюще. Предлагаю подумать, как формируются рейтинги Morningstar. Например, в 2004 году агентство проанализировало темпы роста всех фондов категории Large Blend за прошедшие десять лет.

Но здесь кое-чего не хватает, а именно: фондов, не вошедших в эту категорию . Взаимные фонды не живут вечно. Некоторые из них процветают, тогда как другие прекращают свое существование. К последним, как правило, относятся фонды, не получающие прибыль. Следовательно, оценивать рост стоимости активов взаимных фондов за десятилетний период по данным о фондах, еще существовавших к концу этого периода, – все равно что оценивать эффективность маневров во время воздушного боя, пользуясь методом подсчета количества пробоин в вернувшихся самолетах. Но вдруг мы не обнаружим ни одного самолета, у которого было бы больше одной пробоины? О чем это говорило бы? Конечно, не об умении пилотов мастерски уклоняться от вражеского огня. Скорее всего, это означало бы, что самолеты, получившие два прямых попадания, охваченные огнем, упали на землю.

Результаты исследования компании Savant показывают: если наряду с выжившими фондами включить в расчеты эффективность фондов, прекративших свое существование, рентабельность инвестиций упала бы до 134,5 %, то есть до 8,9 % в год. Показатель гораздо более скромный, не правда ли? Этот вывод подтвердили результаты одного из последних исследований. Журнал Review of Finance провел в 2011 году комплексное исследование, охватившее около пяти тысяч фондов {10} 10 Martin Rohleder, Hendrik Scholz, Marco Wilkens . Survivorship Bias and Mutual Fund Performance: Relevance, Significance, and Methodical Differences // Review of Finance, 2011, vol. 15, no 2, p. 441–474 – см. таблицы. Мы перевели месячную избыточную доходность в годовую избыточную доходность, поэтому цифры в нашем тексте не совпадают с данными, приведенными в статье. . По его результатам было установлено, что избыточная доходность выживших фондов (всего 2641 фонд) оказалась на 20 % выше того же показателя, рассчитанного с учетом данных о фондах, потерпевших неудачу. Возможно, эффект систематической ошибки выжившего удивил инвесторов, но для Абрахама Вальда он, по всей вероятности, не стал бы неожиданностью.

В этот момент мой юный собеседник прервет мой рассказ вполне обоснованным вопросом: ну и где здесь математика? Да, Вальд был математиком, и вне всяких сомнений, его решение проблемы надежности авиационной брони гениально. Но при чем здесь математика? Ни тригонометрических тождеств, ни интегралов, ни неравенств, ни формул.

Прежде всего следует отметить, что математические формулы все-таки были. Я опустил их, рассказывая историю Вальда, поскольку это только пролог. Во введении к книге о размножении человека, рассчитанной на десятилетних ребят, вряд ли стоит во всех подробностях рассказывать, как детки попадают в мамин живот. Нет, мы напишем что-нибудь в таком роде: «В природе все меняется. Зимой деревья сбрасывают листья, весной снова цветут; обычная гусеница прячется в свой кокон и выходит из него, превратившись в прекрасную бабочку. Ты тоже часть природы, поэтому…»

Мы с вами сейчас находимся именно в такой части книги.

Но мы взрослые люди, поэтому давайте на секунду уйдем от расплывчатых формулировок и посмотрим, как выглядит типичная страница реального отчета Вальда {11} 11 Abraham Wald . Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors. Alexandria, VA: Center for Naval Analyses, repr., 1980, July, CRC 432. .

…можно вычислить нижний предел Q i . Мы предполагаем, что разность между значениями q i и q i +1 находится в определенных пределах. Следовательно, можно вычислить верхний и нижний пределы Q i .

Предположим:

где λ 1 < λ 2 < 1, таковы, что выполнено:

Точное решение слишком громоздко, но можно рассчитать приближенные значения верхнего и нижнего пределов Q i для i < n посредством следующей процедуры. В расчетах используется такой набор гипотетических данных: