Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Неизящная аксиома – как пятно в углу на полу: мешать не мешает, но с ума сводит, и вы тратите уйму времени, чтобы истребить его, вымыть пол, сделав его снова чистым и красивым. В математическом контексте это сводилось к попыткам показать, что пятая аксиома, так называемый постулат о параллельности, вытекает из всех остальных аксиом. Если это было бы так, проблему пятой аксиомы можно было бы удалить из списка Евклида, оставив его безупречно чистым.

После двух тысяч лет чистки пятно все еще оставалось на своем месте.

Венгерский математик Фаркаш Бойяи, который всю жизнь безуспешно пытался решить эту задачу, в 1820 году посоветовал сыну Яношу не следовать по этому пути:

Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути; я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую радость моей жизни я в ней похоронил. Мало того, оставь в покое учение о параллельных линиях… Я был готов сделаться мучеником этой истины, чтобы только очистить геометрию от этого пятна, чтобы передать роду человеческому безукоризненную науку. Я проделал ужасную гигантскую работу; я достиг много лучшего, нежели то, что было получено до меня; но совершенного удовлетворения не получил… Я отказался от этого, когда понял, что ни один человек не способен достичь дна этой тьмы. Я оставил эти попытки без всякого утешения, жалея себя и все человечество. Извлеки урок из моего примера {271}.

Сыновья не всегда прислушиваются к советам отцов, а математики не всегда легко бросают то, чем занимаются. Младший Бойяи продолжил работать над параллельными прямыми, и в 1823 году у него было готово в общем виде решение этой древней задачи. Он написал отцу ответное письмо, в котором было сказано следующее:

Я открыл нечто столь удивительное, что был потрясен, и было бы величайшим несчастьем, если это было бы утеряно. Когда ты, мой дорогой отец, увидишь это, ты все поймешь; сейчас же я могу сказать только одно: я создал странный новый мир из ничего .

Гениальная идея Яноша Бойяи состояла в том, чтобы взглянуть на эту задачу под другим углом. Вместо того чтобы пытаться вывести постулат о параллельности из других аксиом, он позволил своему разуму поставить вопрос так: что если аксиома о параллельных прямых ошибочна? Следует ли из этого противоречие? Янош Бойяи пришел к выводу, что ответ на этот вопрос отрицательный и что существует другая геометрия (не геометрия Евклида, а нечто иное), в которой первые четыре аксиомы верны, а постулат о параллельности – нет. Следовательно, постулат о параллельности не может быть доказан на основании первых четырех аксиом, поскольку такое доказательство исключило бы возможность геометрии Бойяи. Но эта геометрия существует.

Иногда то или иное математические открытие «витает в воздухе»: по едва понятным причинам сообщество ученых готово к очередному достижению, поэтому оно приходит из нескольких источников одновременно. В то время, когда Бойяи в Австро-Венгрии разрабатывал свою неевклидову геометрию, Николай Лобачевский [304]делал то же самое в России. А великий Карл Фридрих Гаусс, старый друг старшего Бойяи, сформулировал много аналогичных идей в работе, которая до сих пор не опубликована. (Когда Гауссу сообщили о публикации Бойяи, он отреагировал несколько неучтиво: «Хвалить это было бы равносильно тому, чтобы хвалить себя» {272}.)

Для описания так называемой гиперболической геометрии Бойяи, Лобачевского и Гаусса понадобится намного больше книжного пространства, чем у нас осталось. Однако, как отметил Бернхард Риман несколько десятилетий спустя, существует более простая неевклидова геометрия, которую нельзя назвать безумным новым миром. Речь идет о геометрии сферы.

Давайте вспомним первые четыре аксиомы:

• существует прямая, соединяющая любые две Точки;

• любой отрезок Прямой можно расширить до отрезка Прямой любой требуемой длины;

• для любого отрезка Прямой L есть Окружность с радиусом L ;

• все Прямые Углы равны между собой.

Наверное, вы обратили внимание на то, что я внес в описание этих аксиом некоторые изменения, написав термины точка, прямая, окружность и прямой угол с прописной буквы. Я сделал это не ради имитации старинного издания, а чтобы подчеркнуть, что с сугубо логической точки зрения не имеет значения, как обозначены «точки» и «прямые». Мы вольны назвать их лягушками и кумкватами , но структура логического вывода из этих аксиом осталась бы прежней. Это напоминает плоскость Джино Фано из семи точек, на которой «прямые» выглядят совсем не так, как нас учили в школе, однако это не имеет значения: весь смысл в том, что эти прямые ведут себя как прямые согласно законам геометрии. В каком-то смысле было бы даже лучше называть точки лягушками, а прямые кумкватами, поскольку это позволило бы нам избавиться от предвзятого мнения по поводу значений слов Точка и точка, Прямая и прямая .