Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Иначе говоря, с одной стороны, большинство избирателей симпатизировали центристскому кандидату Монтроллу больше, чем Киссу; с другой стороны, большинство избирателей симпатизировали Монтроллу больше, чем Райту. Это веский аргумент в пользу того, что Монтролл мог стать полноправным победителем – и все же он вышел из игры уже в первом раунде голосования. Это и есть один из недостатков преференциальной системы голосования. Центристу, который нравится всем, но которого никто не поставил на первое место в рейтинге, одержать победу на таких выборах очень трудно.

Подведем итог.

Традиционная американская система голосования – побеждает Райт.

Преференциальная система – побеждает Кисс.

Прямое противостояние – побеждает Монтролл.

Вы запутались? Дальше будет еще хуже. Предположим, те 495 избирателей, которые написали «Райт, Кисс, Монтролл», решили вместо этого голосовать за Кисса, исключив остальных двух кандидатов из бюллетеня. Предположим также, что 300 избирателей, которые отметили в бюллетенях только Райта, также решают голосовать за Кисса. Теперь Райт потерял 795 голосов за первое место в рейтинге, то есть у него остается всего 2502 голоса; следовательно, именно он, а не Монтролл, выбывает из голосования в первом же раунде. Далее в выборах принимают участие только Монтролл и Кисс, и Монтролл побеждает с перевесом 4067 против 3777 голосов.

Видите, что произошло? Мы дали Киссу больше голосов – и вместо того чтобы выиграть, он проиграл!

Если в этот момент вы почувствуете головокружение, это вполне нормально.

Но попытайтесь найти опору в том, что у нас хотя бы появилось обоснованное ощущение, кто должен был бы победить на этих выборах. Это демократ Монтролл – человек, который в прямом противостоянии победил бы и Райта и Кисса. Может, нам стоило бы отказаться от всех этих подсчетов и исключения кандидатов по методу Борда и просто выбрать того кандидата, которому отдает предпочтение большинство.

Нет ли у вас ощущения, что я пытаюсь поймать вас в ловушку?

Постараемся немного упростить ситуацию, сложившуюся в Берлингтоне. Допустим, у нас есть только три типа избирательных бюллетеней.

Большинство избирателей (все, кто попадает в секторы круговой диаграммы, обозначенные как К и Р) предпочитают Райта Монтроллу. А другое большинство (избиратели из секторов М и К) отдают предпочтение Киссу перед Райтом. Если большинство людей симпатизируют Киссу больше, чем Райту, и большинство людей симпатизируют больше Райту, чем Монтроллу, разве это не значит, что Кисс снова должен победить? Есть только одна проблема: люди отдают предпочтение Монтроллу перед Киссом с большим перевесом – 2845 против 371 голосов. Мы имеем невероятный треугольник голосов: Кисс превосходит Райта, Райт превосходит Монтролла, Монтролл превосходит Кисса [299]. Каждый из кандидатов проиграл бы в борьбе один на один одному из оставшихся двух кандидатов. Так как вообще кто-нибудь из них может с полным на то правом занять должность мэра?

Досадная ситуация такого рода называется парадоксом Кондорсе, по имени французского философа эпохи Просвещения, который впервые описал этот парадокс в конце XVIII столетия. Мари Жан Антуан Николя де Карита, маркиз де Кондорсе, сторонник республиканских идей в преддверии Французской революции, выбранный в итоге президентом Национального конвента. Кондорсе был весьма необычным политиком – застенчивый и склонный к переутомлению, со спокойной и слегка торопливой манерой речи; неудивительно, что его предложения часто тонули в революционном шуме. Но его быстро выводили из себя люди, интеллектуальный уровень которых не соответствовал его собственному. За сочетание застенчивости и вспыльчивости наставник Кондорсе Жак Тюрго прозвал его le mouton enragé «обезумевший барашек» {265}.

Кондорсе со страстью окунулся в политическую деятельность, сохраняя при этом непоколебимую веру в здравый смысл, особенно в математику, как в организующее начало человеческой жизни. Приверженность здравому смыслу была свойственна всем мыслителям эпохи Просвещения, но убежденность Кондорсе, что социальный и нравственный мир можно проанализировать с помощью уравнений и формул, была чем-то принципиально новым. Он был первым социологом в современном понимании. (Сам Кондорсе использовал термин «социальная математика».) Кондорсе, рожденный в аристократической семье, быстро пришел к пониманию универсальных законов мышления, которые нужно ставить выше прихотей королей. Он разделял мнение Руссо, что «общая воля» народа должна верховенствовать над государством, но был не согласен, в отличие от того же Руссо, принимать это утверждение в качестве самоочевидного принципа. По мнению Кондорсе, правило большинства требует математического обоснования, и он нашел его в теории вероятностей.