Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Более того, мы допускаем, что, поскольку в прошлом слизевик находил варианты «3-темнота» и «5-свет» одинаково привлекательными, он продолжит делать это и в новых условиях. В экономических терминах это значит, что наличие нового варианта не должно менять того факта, что варианты «3-темнота» и «5-свет» имеют одинаковую полезность. Но нет: когда есть вариант «1-темнота», слизевик на самом деле меняет свои предпочтения, выбирая вариант «3-темнота» в три раза чаще, чем вариант «5-свет»!

Что происходит?

Даю подсказку: маленькая кучка хлопьев в темноте играет в данной ситуации ту же роль, что и Росс Перо во время выборов.

На языке математики эта ситуация обозначается термином «независимость от посторонних альтернатив». Этот принцип гласит, что кем бы вы ни были – слизевиком, человеком или демократической страной, – если у вас есть два варианта выбора А и Б, наличие третьего варианта В не должно влиять на то, какой из вариантов А и Б нравится вам больше. Если вы решаете, какой автомобиль вы хотели бы иметь: «Тойота Приус» или «Хаммер», – не имеет значения, есть ли у вас еще и «Форд Пинто». Вы ведь точно знаете , что не собираетесь выбирать «Форд». Так какое отношение он может иметь к вашему выбору?

Или возьмем более близкую к политике ситуацию. Пусть вместо автодилера будет штат Флорида, вместо автомобиля «Приус» – Эл Гор, вместо «Хаммера» – Джордж Буш-младший, а вместо «Форда Пинто» – Ральф Нейдер. Во время президентских выборов 2000 года Джордж Буш получил 48,85 % голосов, Альберт Гор – 48,84 % голосов. Пинто получил 1,6 % голосов.

Во время выборов 2000 года во Флориде сложилась следующая ситуация. Ральф Нейдер не имел шансов получить голоса коллегии выборщиков штата Флорида. Вы знаете это, я знаю это, и каждый избиратель во Флориде знал это. На самом деле перед избирателями Флориды стоял не вопрос:

Кто должен получить голоса выборщиков штата Флорида – Гор, Буш или Нейдер?

а вопрос:

Кто должен получить голоса выборщиков штата Флорида – Гор или Буш?

Можно с уверенностью утверждать, что, по мнению практически каждого избирателя, отдавшего голос за Нейдера, Эл Гор был бы лучшим президентом, чем Джордж Буш [293].

Я не говорю о том, что исход этих выборов должен был быть другим. Однако правда и то, что голосование приводит порой к парадоксальным результатам, когда большинство не всегда побеждает, а посторонние альтернативы контролируют исход выборов. Клинтон получил от этого свою выгоду в 1992 году, младший Буш – в 2000 году, но математический принцип остается прежним: понять, «чего на самом деле хотят избиратели», очень трудно.

Однако выборы в Америке – не единственный способ. Поначалу это может показаться странным: какой еще выбор, кроме кандидата, набравшего самое большое количество голосов, может быть справедливым?

Интересно, как размышлял бы над этой проблемой математик? И действительно, был один математик, пытавшийся ее решить. Жан-Шарль де Борда, французский ученый XVIII столетия, известный своей работой в области баллистики. Выборы – это машина. Мне нравится представлять выборы в виде большой чугунной мясорубки. То, что поступает в мясорубку выборов на входе, – это предпочтения отдельных избирателей. Колбасообразная масса, которая появляется на выходе, после того как вы повернете ручку, – это то, что мы называем волей народа.

Эл Гор проиграл во Флориде – что именно беспокоит нас в этой ситуации? То, что на самом деле больше избирателей предпочли Гора Бушу, а не наоборот. Почему наша избирательная система не знает об этом? Потому что у людей, голосовавших за Нейдера, не было возможности выразить свое предпочтение Гору перед Бушем. Другими словами, мы исключаем из рассмотрения важную информацию, относящуюся к делу.

Математик в этом случае сказал бы: «Нельзя не учитывать информацию, имеющую отношение к задаче, которую вы пытаетесь решить!»

У производителя колбас свой взгляд на вещи: «Коли беретесь делать фарш, сразу используйте всю корову!»

И оба согласились бы с тем, что вы должны найти способ принять во внимание всю совокупность предпочтений избирателей, а не только то, какой кандидат нравится им больше всех. Предположим, процедура голосования позволила бы избирателям штата Флорида составить список всех трех кандидатов в порядке их предпочтения. Результаты могли бы выглядеть примерно так [294]:

Первая группа представляет республиканцев; вторая – либеральных демократов; третья – консервативных демократов, для которых Нейдер – явный перебор.