Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Использование тригонометрии применительно к векторам высокой размерности для представления корреляции в количественной форме – это, мягко говоря, не то, что имели в виду создатели косинуса. Никейский астроном Гиппарх, составивший первые тригонометрические таблицы во II столетии до нашей эры, пытался рассчитать промежутки времени между затмениями. Векторы, с которыми он имел дело, описывали небесные тела и были однозначно трехмерными. Однако математический инструмент, подходящий для одной цели, как правило, оказывается полезным снова и снова.

Геометрическая интерпретация корреляции проливает свет на некоторые аспекты статистики, которые в противном случае остались бы не совсем понятными. Возьмем в качестве примера богатого представителя элиты с либеральными взглядами. В течение какого-то времени этот человек с несколько сомнительной репутацией был известным персонажем в политических кругах. Пожалуй, самым самоотверженным летописцем этой социальной группы является публицист Дэвид Брукс, написавший целую книгу о социальной группе, которую он назвал «богемная буржуазия», или «бобо». В 2001 году, размышляя о различиях между богатым пригородным округом Монтгомери (штат Мэриленд, моя родина!) и округом Франклин (штат Пенсильвания) с преобладанием среднего класса, Брукс выдвинул предположение, что старый принцип политической стратификации по экономическим классам, согласно которому «Великая старая партия» отстаивает интересы денежных мешков, а демократы выступают за рабочего человека, полностью устарел.

Подобно элитным регионам повсюду, от Кремниевой долины до пригорода Чикаго «Северный берег» и пригородных районов штата Коннектикут, в прошлом году во время президентских выборов округ Монтгомери поддержал предвыборную программу демократической партии с перевесом 63 % против 34 %. Между тем, округ Франклин проголосовал за республиканскую партию с соотношением 67 % голосов против 30 % {230}.

Прежде всего следует отметить, что «повсюду» – это преувеличение. Самый богатый округ штата Висконсин – округ Уокешо, охватывающий фешенебельные пригородные районы к западу от Милуоки. Буш победил там Гора с отрывом 63 % против 31 %, тогда как по всему штату небольшой перевес был у Гора.

Тем не менее Брукс обращает внимание на реальный феномен – тот самый, который мы ясно видели на диаграмме разброса на одной из предыдущих страниц. На современном электоральном ландшафте США богатые штаты голосуют за демократов чаще, чем бедные. Миссисипи и Оклахома – это штаты с высокой поддержкой Республиканской партии, тогда как в штатах Нью-Йорк и Калифорния «Великая старая партия» даже не пытается бороться за победу. Другими словами, существует положительная корреляция между проживанием в богатом штате и голосованием за демократов.

Однако статистик Эндрю Гельман обнаружил, что на самом деле ситуация сложнее, чем составленный Бруксом портрет новой породы потягивающих латте, передвигающихся на автомобилях Prius либералов с большими изысканными домами и мешками денег {231}. В действительности богатые люди по-прежнему чаще голосуют за республиканцев, чем бедные, – эффект, который существует уже многие десятилетия. Гельман и его коллеги глубже проанализировали данные по штатам и обнаружили очень интересную закономерность. В некоторых штатах, таких как Техас и Висконсин, более богатые округа обычно голосуют за Республиканскую партию {232}. В других штатах, таких как Мэриленд, Калифорния и Нью-Йорк, богатые округа склонны поддерживать Демократическую партию. В последних штатах из упомянутых выше живут многие политические деятели. В их ограниченном мире богатых районов действительно обитает много либералов, поэтому для них естественно обобщать этот опыт на остальную часть округа. Естественно, но, если посмотреть на общие результаты, совершенно неправильно.

Создается впечатление, что здесь имеет место парадокс. Между статусом богатого человека и проживанием в богатом штате почти по определению существует положительная корреляция. С другой стороны, существует положительная корреляция между проживанием в богатом штате и голосованием за Демократическую партию. Разве это не означает, что должна существовать корреляция между статусом богатого человека и голосованием за демократов? Представим эту ситуацию в геометрическом виде: если вектор 1 образует острый угол с вектором 2, а вектор 2 образует острый угол с вектором 3, разве не должен вектор 1 находиться под острым углом к вектору 3?