М. Фартушняк - Репетитор по математике. Алгебра

Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.

Например, разделим 6x 3+2x 2 – x +12 на 3x 2 – 2x +6

Запись деления:

1.Делим первый член делимого 6x 3на первый член делителя 3x 2. Результат 2x – первый член частного.

2.Умножаем полученный член на делитель 3x 2 – 2x +6, результат 6x 3 – 4x 2+12x записываем под делимым.

3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x 2 – 13x +12

4. Первый член остатка 6x 2делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.

5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x 2 – 4x +12 подписываем под первым остатком.

6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.

.

Целая часть: 2x +2

Остаток: – 9x

Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.

Целая часть: 3t 2 – 7t +5

Остаток: 34t – 37

Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена x m±a mна x±a.

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. x m-a mделится на x-a

Примеры.

(x 2-a 2): (x-a) =x+a

(x 3-a 3): (x-a) =x 2+ax+a 2

(x 4-a 4): (x-a) =x 3-ax 2+a 2x+a 3

(x 5-a 5): (x-a) =x 4-ax 3+a 2x 2+a 3x+a 4

2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. x m-a mпри чётном m делится на x+a

Примеры.

(x 2-a 2): (x+a) =x-a

(x 4-a 4): (x+a) =x 3-ax 2+a 2x-a 3

(x 6-a 6): (x+a) =x 5-ax 4+a 2x 3-a 3x 2+a 4x-a 5

2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

Например, ни x 3-a 3, ни x 5-a 5не делятся на x+a.

2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x 2-a 2.

Примеры.

(x 4-a 4): (x 2-a 2) =x 2+a 2

(x 6-a 6): (x 2-a 2) =x 4+a 2x 2+a 4

(x 8-a 8): (x 2-a 2) =x 6+a 2x 4+a 4x 2+a 6

3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.

Например, ни x 2+a 2, ни x 3+a 3не делятся на x-a.

4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.

Примеры.

(x 3+a 3): (x+a) =x 2-ax+a 2

(x 5+a 5): (x+a) =x 4-ax 3+a 2x 2-a 3x+a 4

4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.

Например, x 6+a 6не делится ни на x-a, ни на x+a.

Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

Возведение в степень n двучлена a+b.

(a+b) n=a n+k 1×a n-1×b+k 2×a n-2×b 2+…+b n(эта формула называется биномом Ньютона).

Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

Примеры.

(a+b) 4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4

(a+b) 6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x 2y 3+8xy 2z=4xy 2(xy+2z)

9a 2b 2—3ab 2c+12abc 2=3ab (3ab-bc+4c 2)