М. Фартушняк - Репетитор по математике. Алгебра

Произведение двух или нескольких одночленовможно упростить лишь тогда, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатели степеней у соответствующих букв складываются, числовые коэффициенты перемножаются.

Пример: -10x 2y×3x 3y 2× (-xy 3) = -10×3× (-1) (x 2x 3x) (yy 2y 3) = 30x 6y 6.

Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.

Частное двух одночленовможно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

Пример: 6x 3y 8z 7: 2xy 5z 3= 3x 2y 3z 4.

Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).

При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.

1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).

Пример: 12x 3y 4: 4x 3y 2=3y 2.

2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.

Пример: 8x 3y 5: 2x 5y 3= 4x -2y 2= (4y 2) / (x 2)

При возведении одночлена в степеньиспользуется правило возведения степени в степень.

Пример: Возведём одночлен 2a 4b 2в четвертую степень.

(2a 4b 2) 4 = 2 4 (a 4) 4 (b 2) 4 = 16a 16b 8.

Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.

Сумма одночленов называется многочленом.

Например, 4x 2y +3a -7b 2 – многочлен, состоящий из суммы одночленов 4x 2, 3a, -7b 2.

При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Пример. Сложим многочлены x 3+2x 2y 2 – 7x 2+ y и 3x 3 – x 2y 2+5x 2 – 3y.

Составим сумму многочленов, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены.

(x 3+2x 2y 2—7x 2+y) + (3x 2– x 2y 2+5x 2 – 3y) = x 3+3x 3+2x 2y 2 – x 2y 2 – 7x 2 +5x 2+ y – 3y = 4x 3+ x 2y 2 – 2x 2 – 2y.

Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).

Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.

Пример. (4x 2y – 7x 3+5y – 3) – (-2x 2y +5x 3– 3y +2) =4x 2y – 7x 3+5y -3 +2x 2y -5x 3+3y – 2 = 6x 2y – 12x 3+8y – 5.

Произведение многочленов.

Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Схема: a× (b+c) =a×b+a×c (открытие скобок)

Например:

– 4x 3(2y 3– x +6) = -4x 32y 3+ (-4x 3(-x)) + (-4x 3×6) = -8x 3y 3+4x 4 – 24x 3.

Мы выписали здесь промежуточные вычисления, хотя, в принципе, без этой записи можно обойтись.

Умножение многочлена на многочлен.

Произведение многочлена на многочлен равно сумме всех возможных произведений каждого одночлена одного из многочленов на каждый одночлен другого.

Схема: (a+b) × (c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d

Пример. (3x 2 – 6x +2) × (4x 3 – 3x) = 12x 5 – 9x 3 – 24x 4+18x 2+8x 3 – 6x =

= 12x 5 – 24x 4 – x 3+18x 2 – 6x.

Существуют частные случаи умножения многочленов, которые называются формулами сокращённого умножения многочленов. Их желательно запомнить.

1. (a+b) 2 =a 2+2ab+b 2(квадрат суммы)

2. (a-b) 2=a 2—2ab+b 2(квадрат разности)

3. (a-b) (a+b) =a 2-b 2(разность квадратов)

4. (a+b) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(куб суммы)

5. (a-b) 3=a 3—3a 2b+3ab 2-b 3(куб разности)

6. (a+b) (a 2-ab+b 2) =a 3+b 3(сумма кубов)

7. (a-b) (a 2+ab+b 2) =a 3-b 3(разность кубов)

Примеры: (2ma 2+0.1nb 2) 2 = 4m 2a 4+0.4mna 2b 2+0.01n 2b 4

(5x 3 – 2y 3) 2 = 25x 6 – 20x 3y 3 +4y 6

(0.2a 2b + c 3) (0.2a 2b – c 3) = 0.04a 4b 2 – c 6

(5ab 2+2a 3) 3 = 125a 3b 6+150a 5b 4+60a 7b 2 +8a 9

Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.

Деление многочленов.

1. Деление многочлена на одночлен.

Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.

Схема:

2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.