Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу четырехсотлетней давности, поставленную Иоганном Кеплером. В ней требуется определить самый эффективный способ наиболее плотно упаковать одинаковые сферы в трехмерном пространстве (это сродни задаче, как в магазине уложить в деревянный ящик как можно больше апельсинов). Будет ли эффективнее всего укладывать сферы одинаковыми слоями, один непосредственно на другой? Или лучше расположить слои так, чтобы каждая сфера оказывалась в выемке, которую образуют четыре сферы в слое под ней? (Апельсины укладывают именно так.) Если да, то можно ли считать этот способ наилучшим? Или существует расположение сфер с еще большей плотностью, причем, возможно, без регулярной структуры? Гипотеза Кеплера заключалась в том, что упаковка из продуктовых магазинов самая лучшая [341]. Однако доказано это было только в 1998 году. Томас Хейлс при помощи своего студента Сэмюэла Фергюсона и 180 000 строк компьютерного кода свел гипотезу к большому, но конечному числу случаев. Затем с помощью перебора и использования оригинальных алгоритмов программа проверила гипотезу. Математическое сообщество пожало плечами. Теперь мы знаем, что гипотеза Кеплера верна, но по-прежнему не знаем, почему. У нас нет понимания . И компьютер Хейлса нам этого объяснить не смог.

Но что произойдет, если настроить на решение таких задач программу AlphaInfinity? Такая машина могла бы выдавать красивые доказательства – столь же красивые, как шахматные партии, которые она играла против Stockfish. Ее доказательства были бы интуитивно понятны и элегантны. Они были бы, по словам венгерского математика Пала Эрдёша, доказательствами прямо из Книги [342]. Эрдёш любил повторять, что у Бога есть Книга, в которую тот включает идеальные доказательства, и фраза, что какое-то доказательство взято из Книги, была его наилучшей возможной похвалой. В частности, это значит, что доказательство раскрывает, почему теорема верна, а не заставляет нас принудительно согласиться с какими-то уродливыми и трудными рассуждениями. Я могу себе представить не слишком отдаленный день, когда искусственный интеллект предоставит нам доказательство из Книги. Но на что будут в тот момент похожи анализ, медицина, социология и политика?

При правильном использовании бесконечности анализ может раскрыть секреты Вселенной. Мы видели, как это происходит снова и снова, но все равно каждый раз воспринимаем это как чудо. Система рассуждений, созданная людьми, каким-то образом находится в гармонии с природой. Она надежна не только в масштабах, в которых была изобретена – в масштабах повседневной жизни, с волчками и мисками супа, – но и в мельчайших масштабах атомов и колоссальнейших масштабах космоса. Так что тут не может быть порочного круга. Это не тот случай, когда мы вводим в анализ уже известные нам вещи, а анализ выдает нам их обратно; нет, анализ говорит нам о тех вещах, которых мы никогда не видели, никогда не могли увидеть и никогда не увидим. Иногда он говорит нам о вещах, которые никогда не существовали, но могли бы существовать – если бы только у нас хватило ума вызвать их к жизни.

Для меня это величайшая загадка всего: почему Вселенная постижима и почему анализ согласуется с ней? У меня нет ответа, но я надеюсь, что вы согласитесь: над этим стоит подумать. А сейчас позвольте мне представить три последних примера сверхъестественной эффективности анализа.

Первый пример возвращает нас к тому, с чего мы начинали, – к замечанию Ричарда Фейнмана, что анализ – это язык, на котором говорит Бог. Пример связан с собственной работой Фейнмана по расширению квантовой механики, которое называется квантовой электродинамикой, сокращенно КЭД [343]. КЭД – это квантовая теория, объясняющая взаимодействие света и материи. Она объединяет теорию электромагнетизма Максвелла, специальную теорию относительности Эйнштейна и квантовую теорию Гейзенберга и Шрёдингера. Фейнман был одним из главных создателей КЭД, и, рассмотрев его теорию, я могу понять, отчего он так восхищался анализом. Его теория переполнена им и по тактике, и по стилю. Она изобилует степенными рядами, интегралами, дифференциальными уравнениями и включает множество трюков с бесконечностью.

Еще важнее то, что это самая точная теория из когда-либо созданных [344]. С помощью компьютеров физики все еще занимаются суммированием рядов, возникающих в КЭД, используя так называемые диаграммы Фейнмана, чтобы делать прогнозы о свойствах электронов и других частиц. Сравнивая эти прогнозы с весьма точными экспериментальными измерениями, они показали, что теория согласуется с реальностью с точностью до восьми знаков после запятой, то есть лучше, чем одна стомиллионная .