Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Еще важнее было доказательство, что других разрешимых случаев не существует: она нашла последний. Все остальные не поддаются интегрированию, то есть их динамику нельзя определить с помощью формул в духе Ньютона. И проблемы тут не в недостаточной искусности; Ковалевская доказала, что просто не может существовать формул определенного вида (на математическом языке – мероморфной функции времени), которые могли бы описать вращение тела. Таким образом, она ограничила возможности анализа. Если даже вращающийся волчок мог бросить вызов демону Лапласа, никакой надежды – даже в принципе – найти формулу судьбы Вселенной не было.

Неразрешимость, обнаруженная Софьей Ковалевской, связана со структурой уравнений для вращающегося твердого тела: эти уравнения нелинейны. Здесь нас не интересует технический смысл нелинейности. Для наших целей достаточно ощутить разницу между линейными и нелинейными системами, а для этого рассмотрим несколько примеров из повседневной жизни.

Чтобы проиллюстрировать, на что похожи линейные системы, предположим, что на весах одновременно взвешиваются два человека – просто ради смеха. Их общая масса будет суммой отдельных масс. Причина в том, что весы – это линейное устройство. Массы людей не взаимодействуют друг с другом и не делают ничего заковыристого, о чем нам следовало бы знать. Например, тела не сговариваются друг с другом, чтобы выглядеть легче, и не вредят друг другу, чтобы казаться тяжелее. Массы просто складываются. В линейной системе, подобной весам, целое равно сумме частей. Это первое ключевое свойство линейности. Второе свойство – причины пропорциональны следствиям. Представьте, что вы натягиваете тетиву лука. Чтобы оттянуть ее на определенное расстояние, требуется определенная сила, а чтобы расстояние увеличилось вдвое, нужно приложить вдвое больше силы. Причина и следствие пропорциональны. Эти два свойства – пропорциональность между причиной и следствием и равенство целого сумме частей – суть того, что значит быть линейным.

Однако многое в природе устроено гораздо сложнее. Когда части системы взаимодействуют, сотрудничают или конкурируют друг с другом, происходят нелинейные взаимодействия. Б о льшая часть нашей повседневной жизни нелинейна: если вы одновременно станете слушать две любимые песни, то не получите двойного удовольствия. То же касается употребления алкоголя или лекарственных препаратов, где эффект взаимодействия может даже привести к смерти. Напротив, сочетание арахисового масла и джема прекрасно. Они не просто складываются – они усиливают воздействие друг друга [320].

Нелинейность отвечает за богатство мира, его красоту и сложность, а нередко и непостижимость. Например, вся биология нелинейна, как и социология. Вот почему гуманитарные науки сложны и математизируются в последнюю очередь.

То же различие между линейностью и нелинейностью относится и к дифференциальным уравнениям, но здесь ситуация менее интуитивно понятна. Единственное, что нужно сказать, – когда дифференциальные уравнения нелинейны, как в случае вращения твердого тела, исследованного Ковалевской, их крайне сложно решать. Со времен Ньютона математики по возможности избегали нелинейных дифференциальных уравнений. Они считаются противными и непокорными.

Напротив, линейные уравнения милы и покладисты. Математики любят их, поскольку они просты. Для их решения существует отлично развитая теория. Действительно, примерно до 1980-х годов традиционное образование в области прикладной математики было практически полностью посвящено изучению методов использования линейности. Годы уходили на освоение рядов Фурье и прочих методов, пригодных для решения линейных уравнений.

Большое преимущество линейности – возможность редукционистского мышления. Чтобы решить линейную задачу, мы можем разбить ее на простейшие части, решить каждую по отдельности и сложить вместе для получения общего ответа. Свое уравнение теплопередачи (которое было линейным) Фурье решил с помощью именно такой редукционистской стратегии. Он разложил сложное распределение температуры на синусоиды, выяснил, как будет меняться каждая синусоида по отдельности, а затем снова скомбинировал их, чтобы спрогнозировать, как будет меняться общая температура вдоль нагретого металлического стержня. Стратегия сработала, потому что уравнение теплопередачи линейно. Оно делится на части, не теряя своей сути.