Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

В физических науках наше незнание уже больше. Состояние системы в данный момент зависит от двух обстоятельств: от ее начального состояния и от закона, по которому это состояние изменяется. Если бы мы сразу знали и этот закон и это начальное состояние, то нам нужно было бы разрешить только математическую проблему и мы снова пришли бы к первой степени незнания.

Но часто бывает, что нам известен закон, начальное же состояние неизвестно. Спрашивается, например, каково действительное распределение малых планет; мы знаем, что во всякое время они подчинены законам Кеплера, но мы не знаем, каково было их начальное распределение.

В кинетической теории газов предполагается, что все газовые молекулы движутся по прямолинейным траекториям и подчиняются законам удара упругих тел; но, так как их начальные скорости неизвестны, то ничего не известно и об их действительных скоростях. Только исчисление вероятностей позволяет предвидеть средние явления, которые будут результатом комбинации этих скоростей. Это – вторая степень незнания.

Возможно, наконец, что не только начальные условия, но и самые законы будут неизвестны; тогда мы будем иметь третью степень незнания и вообще ничего не сможем утверждать относительно вероятности явления.

Часто бывает, что стараются предсказать не событие по более или менее несовершенному знанию закона, а, наоборот, зная события, стараются предсказать закон; таким образом, выводят не действия из причин, а причины на основании действий.

Это – так называемые проблемы вероятности причин, наиболее интересные с точки зрения их научных приложений.

Я играю в экарте [14] Карточная игра. – Прим. ред . с человеком, которого знаю как вполне порядочного; он сдает карты. Какова вероятность того, что он откроет короля? Эта вероятность равна 1/8; это – проблема вероятности событий. Я играю с человеком, которого не знаю; он 10 раз сдавал карты и 6 раз открывал короля; какова вероятность того, что это шулер? Это – проблема вероятности причин.

Можно сказать, что это – главная проблема экспериментального метода. Я наблюдал n значений для x и соответственные значения для у ; я констатировал, что отношение вторых к первым является заметно постоянным. Вот событие; какова его причина?

Вероятно ли, чтобы существовал общий закон, по которому y пропорционально x , и чтобы небольшие отклонения были обусловлены погрешностями наблюдений? Вот вопрос, который постоянно ставит перед собой исследователь и который он бессознательно решает всякий раз, когда занимается наукой.

Теперь я займусь обсуждением различных категорий проблем и рассмотрю сначала то, что я выше назвал субъективной вероятностью, а затем то, что назвал вероятностью объективной.

II. Вероятность в математических науках. Невозможность квадратуры круга доказана в 1883 году; но уже много раньше этой близкой к нам даты все геометры рассматривали эту невозможность как столь «вероятную», что Академия наук оставляла без рассмотрения мемуары (к сожалению, слишком многочисленные), посылаемые ей каждый год какими-то неудачниками.

Была ли Академия права? Конечно, да; она хорошо знала, что, поступая так, она нисколько не рискует затормозить важное открытие. Она не могла бы доказать, что она права; но она знала, что ее инстинкт не обманывает ее. Если бы вы спросили академиков, они бы вам ответили:

«Мы сравнили вероятность того, что неизвестный ученый нашел истину, которую тщетно искали уже столь долгое время, с вероятностью того, что число умалишенных людей увеличилось на единицу; вторая вероятность показалась нам больше». Эти соображения очень хороши, но они не имеют в себе ничего математического; они – чисто психологического характера.

А если бы вы спрашивали их более настойчиво, они прибавили бы: «Почему вы желаете, чтобы частное значение трансцендентной функции было алгебраическим числом? И если бы π было корнем алгебраического уравнения, то почему вы желаете, чтобы только этот корень был периодом функции sin 2 х и чтобы ими не были другие корни того же уравнения?» Словом, они сослались бы на принцип достаточного основания в его наиболее неопределенной форме.

Но что они бы могли извлечь из этого? В лучшем случае – практическое правило для употребления времени, которое с большей пользой могло бы быть потрачено на их обычные работы, чем на изучение вымученного сочинения, внушающего законное недоверие. Но то, что я назвал выше объективной вероятностью, не имеет никакого отношения к этой первой проблеме.