Эдвард Шейнерман: Путеводитель для влюбленных в математику

Согласно актуальной версии справочника ЦРУ, в Китайской Народной Республике 1 379 302 771 граждан, в Республике Индия 1 281 935 911, в Республике Науру 9642 (все данные проверены в июле 2017). Наименьшее в мире количество граждан у Ватикана: 1000 человек (проверено в 2017 году). – Прим. пер.

Фрэнк Бенфорд (1883–1948) – американский инженер и физик, бо́льшую часть жизни работал в General Electric. – Прим. пер.

Саймон Ньюком (1835–1909) – американский астроном, математик и экономист. Работал в Морской академии в Вашингтоне и Военно-морской обсерватории США. Двоюродный прапрадед физика Уильяма Ньюкома (о парадоксе, названном его именем, пойдет речь в главе 23). – Прим. пер.

Мы приводим округленные значения. На самом деле ожидаемая частотность для 1 составляет 30,102999566398114…%. Скоро мы растолкуем, откуда берется это значение.

Обычно таблица умножения включает 10 строк и 10 столбцов, но умножение на 10 в нашем случае ничем не отличается от умножения на 1, поэтому один столбец мы выпускаем.

Можно наглядно увидеть трехмерную таблицу умножения на примере кубика Рубика. Некоторые варианты (например, 4 × 7 × 3 = 84) будут скрыты внутри кубика.

В десятимерной таблице умножения 9 10произведений, то есть чуть меньше 3,5 миллиарда чисел.

От лат. mantissa – «прибавка». – Прим. пер.

Например, мантисса числа 0,0043 равна 4,3, потому что 0,0043 = 4,3 × 10 –3.

Для читателей из стран, где стандартная единица измерения – метр, отмечу, что ярд немного меньше метра, а фут равен одной трети ярда.

Помните, что f (3) равно доле величин, мантисса которых меньше 3, а именно 1 или 2. Поэтому мы вычитаем долю измерений, начинающихся на 1.

Величина f (9) равна доле величин, мантисса которых меньше 9. Поэтому мы вычитаем долю величин, начинающихся на 1, 2, 3, 4 и 5.

Если мы переведем ярды в футы, то b = 3. Для других величин это число другое.

Нас ждет прокол, если ab >10 или ab < 1. Эта проблема поддается разрешению, но пока мы просто будем рассматривать только варианты, при которых 1 ≤ ab ≤ 10.

Этот раздел должен освежить ваши знания о десятичных логарифмах. Если вы знакомы с темой, можете листать дальше.

В оригинале десятичный логарифм обозначен log в соответствии с американской традицией пропускать нижний индекс «10», когда речь идет о десятичном логарифме. В русскоязычной литературе используется обозначение lg( x ). – Прим. пер.

Возьмите калькулятор, посчитайте обе величины и убедитесь, что я не ошибся.

Слово алгоритм происходит от имени персидского математика Аль-Хорезми (IX в. н. э.).

Даже эту операцию можно разбить на еще более элементарные. Например, нужно решить, чью тетрадь положить первой – Алисы или Алекса. Я сравниваю первые буквы. Они совпадают. Тогда я сравниваю вторые буквы – они снова совпадают. Третья буква в имени Алисы – «и», третья буква в имени Алекса – «е». Следовательно, тетрадка Алекса должна идти первой.

Если мы вычислим среднестатистическое количество операций, то получим средний случай.

Описанную процедуру называют сортировкой пузырьковым методом . Диаграмма иллюстрирует один раунд алгоритма.

Обратите внимание: тетрадь A сместилась всего на одну позицию. Нам потребуется еще шесть раундов, чтобы она поднялась наверх.

Описанный метод называют сортировкой слиянием . Это хороший пример принципа «разделяй и властвуй»: сложная задача разбивается на несколько задач попроще, а затем решения объединяются.

Чарльз Понци – итальянский мошенник, создатель финансовой пирамиды в Бостоне в 1920 году. – Прим. пер.

Заметим, что пример не так прост, как кажется: первый раз слово «оскудение» обозначает состояние, а второй раз – процесс. – Прим. науч. ред.

Описание будет еще более точным, если мы формализуем процедуру соединения подмножеств, описанную выше.

Несколько простых примеров: НОД (10, 15) = 5; НОД (12, 16) = 4; НОД (13, 11) = 1; НОД (10, 20) = 10; НОД (17, 17) = 17.