Эдвард Шейнерман: Путеводитель для влюбленных в математику

При первом чтении главы эти два абзаца можно пропустить. Мы уточняем одну техническую деталь, чтобы сделать аргументацию полной и неуязвимой.

Символ א обозначает первую букву древнееврейского алфавита: алеф. Символ читают «алеф нуль».

Вообще говоря, из сказанного это не следует; существование таких чисел надо специально доказывать. – Прим. науч. ред.

Этот подход, известный как наивная теория множеств, использовал Кантор и другие математики.

Может ли одно множество быть элементом другого? Разумеется! Скажем, множество {1, 2} входит во множество {0, {1, 2}, 3, 6, 7}. В этом множестве пять элементов: числа 0, 3, 6, 7 и множество {1, 2}.

Одно из многочисленных достижений Рассела – Нобелевская премия по литературе за 1950 год.

Этот парадокс называют антиномией Рассела.

Этот подход известен под названием «аксиоматическая теория множеств». Общепринятые правила поведения и формирования множеств названы в честь своих создателей, Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) и Абрахама Френкеля (Abraham Fraenkel): ZF-аксиомы.

Если хоть одно такое множество существует, |ℝ|> алеф_1 . – Прим. науч. ред.

Эта глава повествует о знаменитых числах Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. Этот ряд был назван в честь Леонардо Пизанского, больше известного как Фибоначчи. (Леонардо Пизанский (1170–1250) – один из первых крупных математиков средневековой Европы. Прозвище Фибоначчи означает «сын Боначчи». Автор «Книги абака», излагающей десятичную систему счисления. – Прим. пер. )

В задаче о квадратах и домино мы выяснили: F 1= 1, а F 2= 2. Но числа Фибоначчи начинаются с F 0= 1. Как это согласуется с условиями задачи? Сколько существует способов заполнить на тех же условиях рамку 0 × 1? Длина квадрата и длина костяшки домино, как ни крути, больше нуля, потому есть искушение сказать, что ответ равен нулю, но это не так. Прямоугольник 0 × 1 уже заполнен, там нет щелей; нам не понадобится ни квадрат, ни костяшка домино. Таким образом, есть всего один способ действия: не брать ни квадрата, ни костяшки домино. Понимаете? В таком случае я вас поздравляю. У вас душа математика!

Слово «комбинаторный» образовано от существительного «комбинаторика» – названия раздела математики, предметом которого является подсчет вариантов в задачах, схожих с облицовкой прямоугольника. Слово «комбинаторика», в свою очередь, образовано от слова «комбинации».

Популярная в США телевикторина. Аналоги Jeopardy! выходят в разных странах; в России это – «Своя игра». – Прим. ред.

Число k может принимать значения от 1 до n + 1, но не больше, потому что иначе последняя костяшка домино высунется за пределы рамки.

Жак Бинe (1786–1856) – французский математик, механик и астроном. Формула для чисел Фибоначчи названа в честь Бине, хотя почти на сто лет раньше ее вывел Абрахам де Муавр (1667–1754). – Прим. пер.

Для читателей, не понаслышке знакомых с интегралами, приведу еще одну эстетически безупречную формулу: Она не слишком хороша для вычислений, но дьявольским образом позволяет находить факториал дробных чисел. Например, в соответствии с приведенной выше формулой

Такие числа называют треугольными, потому что они равны сумме объектов, расположенных в форме треугольника:

Вы можете проверить эти вычисления на калькуляторе за несколько секунд! Сложите все целые числа от 1 до 10, и вы получите 55.

Джеймс Стирлинг – шотландский математик X VIII века.

Скажем, в числе 0,053 первая значащая цифра 5. Когда мы говорим о первой значащей цифре, то подразумеваем первую цифру, отличную от нуля.

Если измерять рост в футах, почти все результаты будут начинаться с цифр 4, 5 или 6.

Я черпаю данные из «Справочника ЦРУ по странам мира». Он доступен в Сети по адресу https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook.