Эдвард Шейнерман: Путеводитель для влюбленных в математику

«π» – триллер 1998 года, режиссер Даррен Аронофски. Главный герой фильма занимается теорией чисел. – Прим. пер.

Имеется в виду одеколон Pi Givenchy. – Прим. пер.

День π отмечают 14 марта (3.14), потому что π ≈ 3,14.

Дробь Другое соотношение ближе к истине:

Если повезет, вы найдете их в магазине настольных игр. Правильный 20-гранник называется икосаэдр . См. главу 16.

На самом деле достаточно перебрать N ( N –1) / 2 вариантов, потому что у пар ( k, l ) и ( l, k ), очевидно, будут одинаковые общие делители; ясно также, что число не может быть взаимно простым само с собой. Поэтому достаточно заполнить не весь квадрат, а треугольник выше главной диагонали. – Прим. науч. ред.

Леонард Эйлер (1707–1783) – математик, механик, астроном. Работал в Швейцарии, Пруссии и России. Также изучил медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. – Прим. пер.

Эйлер не называл это число своим именем, но именно он выбрал для него букву е . Подтолкнула ли его к этому гордыня – до сих пор предмет спора историков науки. Как бы то ни было, Эйлер было довольно скромным человеком.

Увы, все формулы для е весьма сложны. Это не просто иррациональное число, как √2 (см. главу 4), но и трансцендентное, как π (см. главу 6).

Разница в 1 цент объясняется тем, что в первом случае мы каждый раз округляли прибыль до сотых.

В первый месяц банк выплатит нам 0,8333 % процента от первоначальной суммы, то есть 8,33 %. Теперь у нас в общей сложности $1008,33.

На самом деле длительность года чуть больше 365 дней, но мы упростим расчеты.

Экспоненциальная убыль встречается в природе. Пример – радиоактивный распад атомов.

Восклицательный знак означает факториал. Подробнее о факториале вы можете прочесть в главе 10.

Примечание для тех, кто знаком с логарифмами: для того чтобы выяснить, насколько редко встречаются простые числа, когда мы рассматриваем большие величины, можно посчитать количество простых чисел между 1 и каким-нибудь крупным числом N . Важнейший результат в теории чисел показывает, что чем больше N , тем ближе количество простых чисел между 1 и N к величине где ln N – логарифм числа N по основанию e , или натуральный логарифм N . Этот результат зафиксирован в так называемой теореме о распределении простых чисел.

Числитель в этом выражении – пример телескопического ряда, где все слагаемые взаимно уничтожаются. Представьте себе складной телескоп, состоящий из нескольких частей. Точно так же слагаемые телескопического ряда вкладываются друг в друга.

Я здесь пропускаю множество этапов вывода формулы Эйлера. Я хочу просто объяснить, что значит возводить число в мнимую степень, и дать общую картину доказательства. В полном виде оно включает тригонометрические выкладки и такие сложные вычисления, которым не место в этой книге.

Георг Кантор (1845–1918) – немецкий математик, создатель теории множеств. Последние годы провел в психиатрической лечебнице. – Прим. пер.

Работы Кантора подвергались нещадной критике как со стороны математиков, так и со стороны философов и теологов. Но спустя некоторое время он добился признания как первооткрыватель новой области математики.

Обычно множество обозначают с помощью фигурных скобок.

Математики называют взаимно однозначное соответствие биекцией.

Нам не обязательно знать все элементы |A| или |B|, чтобы констатировать, что |A| = |B|.

Это множество натуральных чисел, его обычно обозначают ℕ. – Прим. науч. ред.

Вот две задачки. Какое число будет стоять справа на сотой строке перечня? Какое число слева будет соответствовать числам 100 и –100 справа? Ответ – в конце главы.