Маркос Санчес - Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Задолго до того как Пифагор сформулировал общий закон, касающийся всех прямоугольных треугольников, в Вавилоне эпохи Хаммурапи — властителя, умершего примерно в 1750 году до н. э., — уже знали, как высчитывать «пифагоровы тройки», то есть такие комбинации положительных чисел (a, b, с), при которых а 2+ b 2= с 2. Вот некоторые примеры: (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (8, 15, 17). Согласно теореме Пифагора, каждая из этих троек представляет собой длины сторон прямоугольного треугольника.

Наш главный источник информации о Вавилоне и Месопотамии — знаменитые глиняные клинописные таблички, на которых писали, пока глина была еще мягкой, а затем обжигали их в печи или высушивали на солнце, что придавало им достаточную твердость. Из всех этих табличек особую ценность для истории математики представляют те, что написаны около 2000 года до н.э. В самых древних записях использовался аккадский язык. Слова в нем состоят из одного или более слогов, и каждое из них отображается группой прямых черточек. Для письма аккадцы использовали палочку с треугольным концом, который они наклонно вдавливали в табличку, от чего оставались клиновидные следы, ориентированные в разных направлениях, поэтому такое письмо называется клинописью.

Среди 300 вавилонских табличек математического содержания из полумиллиона найденных до сегодняшнего дня особый интерес представляет табличка, называемая Плимптон 322 (табличка № 332 из коллекции издателя Джорджа Артура Плимптона, которую он в 1932 году передал Колумбийскому университету). Эта табличка относится к древнему периоду династии Хаммурапи (который охватывает эпоху между 1800 и 1600 годами до н.э.) и на ней изображена таблица с четырьмя колонками символов, которые, по-видимому, представляют числа, записанные в вавилонской шестидесятеричной системе.

Эти ряды чисел можно принять за записи торговых счетов, но при их внимательном изучении было сделано выдающееся открытие: это список пифагоровых троек по формуле а 2+ b 2= с 2. Таким образом, табличка Плимптона доказывает, что вавилоняне знали элементарную геометрию и начала алгебры.

Как вавилоняне нашли эти пифагоровы тройки? Почему они их интересовали? Для составления этой таблицы они, возможно, использовали известный им алгоритм, который оставался в забвении следующие 1500 лет, до Евклида с его «Началами».

На следующей странице в таблице показаны 15 из 38 пифагоровых троек из этой таблички. Хотя клинописные символы заменены на привычные цифры, для понимания таблицы нужно сделать несколько уточнений. Четвертая колонка содержит номер строки. Вторая и третья колонки показывают значение гипотенузы и катета прямоугольного треугольника, записанные в шестидесятеричной системе. В последней колонке, обозначенной буквой «l», находятся значения второго катета. Содержимое первой колонки вызывает некоторое удивление, потому что там представлен квадрат соотношения d, деленного на l. Это значение можно было бы охарактеризовать как квадрат некоей тригонометрической функции. Рассмотрим первую строку вавилонской таблички, использовав десятеричную систему. В колонке II обозначена длина катета b=119 (что в шестидесятеричной системе записывается как 159 — одна «шестидесятая» плюс 59. — Примеч. перев.), а в колонке III — гипотенуза d =169 (записано как 249 — две «шестидесятой» плюс 49). Из этих величин вытекает длина другого катета, l = = 120 (200 — две «шестидесятки»). В таблице ниже эти значения переведены в десятеричную систему, по ней легче проверить соответствующие соотношения.

В Египте математика была менее развита, чем в Междуречье. Сведения о ней происходят из пяти папирусов, посвященных математическим вопросам, среди которых самые важные — это папирус Ринда, обнаруженный в 1858 году шотландским египтологом Александром Генри Риндом (1833-1863) и ныне хранящийся в Британском музее, и Московский папирус, находящийся в коллекции Пушкинского музея в Москве. Два этих документа восходят, по всей видимости, к XVIII веку до н.э., хотя, возможно, они еще более древние. Оба папируса представляют исключительную ценность для историков математики, и весьма показательно, что ни в одном из них нет никаких свидетельств о теореме, известной сегодня как теорема Пифагора, или о пифагоровых тройках.