Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики

Например, корень квадратный из 2 не имеет точки на линии дробей, потому что его невозможно представить в виде дроби. Тем менее на линии он существует. Представьте себе квадрат со стороной от одного целого числа до другого (как на рисунке).

Диагональ этого квадрата равна корню квадратному из 2, и если отрезок, равный длине этой диагонали отложить на линии от нулевой точки, то он закончится на точке, равной корню квадратному из 2, которой не соответствует ни одна дробь. На этой точке ни одна дробь просто не может находиться. На линии также можно отметить любое другое иррациональное число, и опять-таки этой точке не будет соответствовать ни одна дробь.

Какой же вывод можно сделать из всего сказанного? Если на линии отмечены точками все рациональные числа, останется тем не менее бесконечное число точек, соответствующих иррациональным числам. Более того, две точки, соответствующие рациональным числам, никогда не будут находиться рядом. Математики доказали, что между ними всегда будет по крайней мере точка, соответствующая иррациональному числу. И наоборот, между двумя иррациональными числами всегда будет по крайней мере одно рациональное число. Если же на линии будут нанесены все рациональные и иррациональные числа, это означает, что использованы все точки. Последовательность действительных чисел, куда входят как рациональные, так и иррациональные числа, образует «континуум».

А как обстоит дело с действительными числами? Является ли последовательность действительных чисел счетной с последовательностью целых чисел, как и последовательность всех рациональных чисел? Нет, не является. Было показано, что, как бы мы ни старались расположить действительные числа таким образом, чтобы одному действительному числу соответствовало одно целое, все равно останется бесконечное количество свободных действительных чисел.

Бесконечность действительных чисел обозначают С (от латинского «continuum»). С — это бесконечность более обширная, нежели счетная бесконечность, так как бесконечной последовательности целых чисел недостаточно, чтобы сосчитать бесконечную последовательность действительных чисел.

Можно проверить, являются ли другие виды бесконечных последовательностей счетными по отношению к бесконечной последовательности действительных чисел. Например, последовательность всех комплексных чисел (то есть все точки на плоскости, а не только точки на прямой) является счетной по отношению к последовательности всех действительных чисел. Точно так же и бесконечная последовательность гиперкомплексных чисел (то есть все точки в пространстве Вселенной, которую мы тоже считаем в данном случае бесконечной) является счетной по отношению к последовательности всех действительных чисел.

В 1896 году математик Джордж Кантор выдвинул теорию «трансфинитных чисел», согласно которой существует бесконечное количество бесконечностей разного рода. Эти бесконечности он обозначил буквой «алеф» древнееврейского алфавита. Каждую такую бесконечность обозначали при помощи правого нижнего индекса при букве «алеф»:

Первая бесконечность называется «алеф-ноль» и соответствует бесконечной последовательности целых чисел. Это означает, что бесконечность, с описания которой я начал эту главу, может быть самой малой из существующих бесконечностей. Другими словами, до сих пор не открыта такая бесконечная последовательность чего бы то ни было, которая не была бы счетной с последовательностью целых чисел по той причине, что остались бы лишние целые числа.

Считается, что следующая по порядку последовательность, «алеф-один» ( 1), представляет собой С , или бесконечность континуума, но это положение еще не было доказано. Никому не удалось обнаружить бесконечной последовательности чего бы то ни было в промежутке между «алеф-ноль» ( 0) и С, но никто также и не доказал, что существование такой бесконечности невозможно.

Бесконечность количества разнообразных кривых, которые можно нарисовать на плоскости, может быть бесконечностью «алеф-два» ( 2).