Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики

Здесь есть возможность читать онлайн «Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: Москва, Год выпуска: 2012, ISBN: 2012, Издательство: Эксмо, Жанр: Математика, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Числа: от арифметики до высшей математики: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Числа: от арифметики до высшей математики»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Знаменитый фантаст и популяризатор науки сэр Айзек Азимов в этой книге решил окунуть читателя в магию чисел Свой увлекательный рассказ Азимов начинает с древнейших времен, когда человек использовал для вычислений пальцы, затем знакомит нас со счетами, а также с историей возникновения операций сложения, вычитания, умножения и деления Шаг за шагом, от простого к сложному, используя занимательные примеры, автор ведет нас тем же путем, которым шло человечество, совершенствуя свои навыки в математике.

Числа: от арифметики до высшей математики — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Числа: от арифметики до высшей математики», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Точно так же производят операцию умножения с комплексными числами. Для того чтобы умножить (3 + 5i) на (6 + i), нужно составить такую схему:

Стрелками показано как перемножаются составные части комплексных чисел В - фото 61

Стрелками показано, как перемножаются составные части комплексных чисел. В соответствии со схемой:

3 × 6 = 18, 3 × i = 3i, 5i × 6 = 30i и 5i × i = 5i 2= -5, поскольку i 2равно -1.

Два из промежуточных результатов являются действительными числами, и их можно сложить, то есть 18 — 5 = 13. Другие две составляющие являются мнимыми числами, и их также можно сложить: 30i + 3i = 33i. Таким образом, результатом умножения является комплексное число 13 + 33i.

Другие арифметические операции также можно продемонстрировать при помощи аналогичной схемы. Таким образом, мы видим, что с комплексными числами можно работать по тем же правилам, что и с обычными числами, а значит, комплексные числа больше не являются для нас таинственными и непостижимыми.

Докапываемся до корней.
Уходим дальше вглубь

Область комплексных чисел дает возможность рассмотреть некоторые сложные случаи при извлечении корней степени больше 2.

Мы с вами уже знаем, что √+1 равен +1 или -1, √-1 равен + i или -i.

А чему равен корень четвертой степени из +1 ( 4√+1)? Очевидно, что (+1) × (+1) × (+1) × ( + 1) = +1, то есть +1 — это один из корней четвертой степени из +1. Точно так же (-1) × (-1) × (-1) × (-1) = +1, то есть +1 — это также один из корней четвертой степени из +1. Но мы еще не перебрали все варианты. Как насчет выражения (+i) × (+i) × (+i) × (+i)? Результат перемножения (-i) × (-i) — это -1. Следовательно, (-i) × (-i) × (-i) × (-i) = (-1) × (-1) = +1. Это означает, что +i — это третий корень четвертой степени из +1. Точно так же мы можем показать, что —i — это четвертый корень четвертой степени из +1.

Следовательно, наша задача имеет следующий ответ: ( 4√1) = +1, -1, +i, -i. Точно так же мы можем показать, что ( 4√-1) равен +√+i, -√+i, +√-i, или -√-i, то есть эта задача имеет четыре равноценных решения.

А что же такое √+i? Ответ прост. (√+i) — это такое число, которое, будучи умножено на себя самое, дает i. Поэтому (+√+i) × (+√+i) = +i Следовательно, (+√+i) × (-√+i) × (+√-i) × (-√-i) = (+ i) × (+ i) = -1.

Следовательно, (+√+i) является одним из корней четвертой степени из (-1), другими корнями являются -√+i, +√-i и -√-i.

Точно таким же образом можно показать, что любое число имеет четыре корня четвертой степени.

Мы показали, что каждое число имеет два квадратных корня и четыре корня четвертой степени. Можно предположить также, что каждое число имеет три корня третьей степени, пять корней пятой степени, шесть корней шестой степени, сорок пять корней сорок пятой степени и так далее. Это утверждение абсолютно верно, но чтобы его доказать, потребуется сложный математический аппарат, которым мы не владеем, поэтому пока примем его на веру.

Правда, мы можем проверить это утверждение для корня третьей степени. Чему, например, равен корень кубический из 1, или ( 3√+1)? Во первых, (+1) × (+1) × (+1) = +1, то есть +1 является одним из кубических корней из 1.

А чему равны остальные два? Перейдем в область отрицательных чисел.

(-1) × (-1) × (-1) = ( + 1) × (-1) = -1

Таким образом, -1 не является корнем кубическим из 1. Более того, можно показать, что ни одно действительное число, а также ни одно мнимое (будь то -i или -И), возведенное в третью степень, не дает в результате + 1.

Значит, корень всего один, а других двух просто нет?

Эти два корня существуют, но в области комплексных чисел. Я просто приведу их значения, а вы сможете проверить, чему равны эти числа, возведенные в куб. Остальные два корня кубических из + 1 — это (-1/2 + 1/2√3i) и (-1/2 - 1/2√3i). Давайте проверим это утверждение.

Если (-1/2 + 1/2√3i) — один из кубических корней +1, то это значит, что (-1/2 + 1/2√3i) 3или (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) равно 1. Умножение можно произвести по той методике, которая описана выше.

Два промежуточных мнимых результата можно сложить сумма чисел 143i и - фото 62

Два промежуточных мнимых результата можно сложить, сумма чисел (-1/4√3i) и (-1/4√3i) равна (-1/2√3i). Что касается 3/4i 2, то это действительное число, равное -3/4.Теперь сложим два действительных составляющих этого выражения: 3/4 - 1/4 = -1/2, таким образом, результат умножения -1/2 - 1/2√3i.

Этот результат нужно снова умножить на (-1/2 + 1/2√3i).

Две мнимые составляющие этого выражения 143i и 143i в сумме дают 0 - фото 63

Две мнимые составляющие этого выражения (-1/4√3i) и (-1/4√3i) в сумме дают 0, так что ими можно пренебречь. Число 3/4i 2является действительным числом, так как i 2= -1, то есть 3/4i 2= -3/4. Добавим к 3/4оставшийся промежуточный результат 1/4 и получим 1. Итак, (-1/2 + 1/2√3i) 3равно 1.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Числа: от арифметики до высшей математики»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Числа: от арифметики до высшей математики» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Числа: от арифметики до высшей математики»

Обсуждение, отзывы о книге «Числа: от арифметики до высшей математики» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x