Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики

Точно так же величина √-64 равна √64 × √-1, или ±8 × i, что можно просто записать как ±8i, а величина √-15 равна √15 × √-1, или ±3,8729832 × i, что можно просто записать как ±3,8729832i.

Однако теперь у нас есть отличный повод для возмущения. Что бы там ни говорили, как бы ни уславливались, совершенно непонятно, что такое эти мнимые числа, как можно их себе представить.

На самом деле такое число должно обозначать то, что мы ему приписали, то, о чем мы условились заранее. Не надо забывать, что числа — это изобретение человека и их цель — облегчить познание Вселенной, а со своими созданиями человек вправе поступать так, как считает нужным.

Вспомним, что у древних греков не было отрицательных чисел. Для них -1 была не менее таинственна и непонятна, чем для нас √—1, когда мы приступили к изучению мнимых чисел. Обратившись к отрицательным числам, мы использовали числовую ось, на которой вверх от нулевой отметки располагались положительные числа, а вниз — отрицательные (см. главу 2).

Такая схема сработала в прошлый раз, попробуем использовать ее и сейчас. Проведем через нулевую отметку еще одну линию, перпендикулярную первой числовой оси. Справа отложим через равные интервалы + li, +2i, +3i, +4i, +5i, +6i, …, а слева -li, —2i, -3i, —4i, —5i, -5i… Мы получили две числовые оси:

Например, вместо знаков «+» и «-» мы можем использовать буквенные обозначения сторон света, как на компасе. Условимся, что положительные действительные числа — это N-числа, отрицательные действительные числа — это S-числа, положительные мнимые числа — это W-числа, а отрицательные мнимые числа — это Е-числа.

В нашей схеме совсем не нужно использовать странный термин «мнимое число», поскольку у нас все стороны света — реальны. Но у этого термина глубокие исторические корни, и теперь, пожалуй, поздновато менять название.

Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:

И хотя наша таблица имеет довольно странный вид, у нее есть простое геометрическое толкование, которое представлено ниже на рисунках.

Я совсем не утверждаю, что только наша система справедлива, могут существовать и другие системы, в такой же мере справедливые и наглядные. Просто предложенная система удобна и используется.

Раз уж мы заговорили о севере, юге, западе и востоке, то следует вспомнить и о таких направлениях, как северо-запад, юго- восток и так далее. Поскольку результат умножения действительных чисел на мнимые никогда не будет ложиться ни на одну из осей (север—юг или восток—запад). А как обстоят дела со сложением, например, чему равна сумма 1 + i? Ученые-математики не удосужились предложить специальный символ для этого выражения, поэтому его оставляют в виде 1 + i, но в нашей системе координат его можно представить наглядно.Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:

N = положительное действительное число, например +1.

Е = положительное мнимое число, например +i.

S = отрицательное действительное число, например —1.

W = отрицательное мнимое число, например —i.

Теперь давайте снова построим две оси, но вместо того, чтобы проставлять значения против каждого деления, на этот раз проведем через каждое деление новую линию.