Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики

Предположим, нам надо выразить в экспоненциальной форме число 3200. Мы можем использовать только целые числа, поэтому разобьем число 3200 следующим образом: (3 × 1000) + (2 × 100) или (3 × 10 3) + (2 × 10 2). Но гораздо удобнее в тех случаях, когда это возможно, пользоваться одной экспонентой. Этого можно добиться, используя десятичные дроби. Представим 3200 в виде 3,2 × 1000 (можете самостоятельно произвести умножение и проверить правильность этого утверждения) или 3,2 × 10 3.

Можно, конечно, представить 3200 как 32 × 100, что в экспоненциальной форме даст 32 × 10 2. Можно выбрать такой вариант: 3200 = 0,32 × 1000 или 0,32 × 10 4. Все эти выражения идентичны. Этот факт можно подтвердить, произведя операции умножения. Для каждого отдельного случая мы получим 3200. Но этот факт можно подтвердить, не производя операций умножения.

Предположим, надо умножить 40 на 50.

40 × 50 = 2000.

Теперь разделим один из сомножителей на 2, а другой умножим на 2. Получаем 20 × 100, или 80 × 25. И в том и в другом случае результат один и тот же, 2000. Предположим, мы умножаем один из сомножителей на 10, а другой делим на 10. Тогда мы получаем 4 × 500 или 400 × 5. И в том и в другом случае результат один и тот же, 2000.

Другими словами, при перемножении двух чисел их произведение не меняется, если один из сомножителей умножить на какое-то число, а другой разделить на это же самое число.

Теперь рассмотрим произведение 3,2 × 10 3. Умножим 3,2 на 10 и разделим 10 3на 10. Как мы уже знаем, произведение от этого не изменится.

3,2 × 10 = 32. Разделим 10 3на 10 (или, что одно и то же, умножим на 10 1) и получим 10 2. Теперь произведение выглядит как 32 × 10 2, при этом его величина не изменяется.

Мы можем разделить 3,2 на 10 (получаем 0,32) и умножить 10 3на 10 (10 4). В результате получаем 0,32 × 10 4, при этом величина также не изменилась.

Мы видим, что выражения 0,32 × 10 4, 32 × 10 2, 3,2 × 10 3являются одним и тем же числом. Тогда какой смысл менять одну форму на другую? С точки зрения корректности расчетов никакого смысла нет, а вот с точки зрения удобства проведения вычислений — безусловно есть. Целесообразно использовать такую форму экспоненциального выражения, когда неэкспоненциальная часть является числом от 1 до 10. В случае 32 × 10 2неэкспоненциальная часть больше 10, в случае 0,32 × 10 4неэкспоненциальная часть меньше 1. В случае 3,2 × 10 3неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10, и это как раз та форма выражения, которая обычно используется.

Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10 -4, 5,4 × 10 -3или 0,54 × 10 -2.

Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10 -3разделить на 10. Деление 10 -3на 10 равноценно умножению на 10 -1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10 -3разделить на 10 равно 10 -3-1или 10 -4. Таким образом, мы превратили выражение 5,4 × 10 -3в 54 × 10 -4, не изменив его величины.

При помощи аналогичных процедур мы можем превратить 5,4 × 10 -3в 0,54 × 10 -2, не изменив его величины. Но на практике предпочтительнее использовать выражение 5,4 × 10 -3, поскольку в этом случае неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10.

К экспоненциальным числам применимы те же правила, как и к обычным числам.

В операциях сложения и вычитания участвуют только неэкспоненциальные составляющие чисел. Например, при сложении 2,3 × 10 4и 4,2 × 10 4получаем 6,5 × 10 4. (Проверьте это утверждение, преобразовав экспоненциальные выражения в неэкспоненциальные: 23 000 и 42 000. Сложив их, вы получите 65 000. Такую же операцию можно осуществить со всеми примерами, которые я привел в этой главе. Таким образом, вы не только научитесь обращаться с экспоненциальными выражениями, но и на практике сможете убедиться, что не обязательно верить всему, что вам говорят, даже если это «что-то» напечатано в типографии.)

Сумма чисел 8,7 × 10 4и 3,9 × 10 4равна 12,6 × 10 4. Ответ можно оставить в этом виде, хотя неэкспоненциальная часть больше 10. Можно также при помощи операций умножения—деления, описанных выше, привести выражение к более удобному виду: 1,26 × 10 5. Этот ответ такой же правильный, как и предыдущий.

А как поступать, когда у чисел различается экспоненциальная часть? Чему будет равна сумма 1,87 × 10 4и 9 × 10 2? Для того чтобы провести сложение, потребуется привести оба числа к такому виду, когда обе экспоненциальные части одинаковы. Например, 1,87 × 10 4можно преобразовать в 187 × 10 2. Тогда можно провести сложение: (9 × 10 2) + (187 × 10 2) = (9 + 187) × 10 2 = 196 × 10 2. Можно пойти другим путем и превратить 9 × 10 2в 0,09 × 10 4, тогда получим (0,09 × 10 4) + (1,87 × 10 4) = (0,09 + 1,87) × 10 4= 1,96 × 10 4.