Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики

Идем дальше. Нам надо перемножить числа, состоящие из разных цифр, отличных от нуля. Для этого мы разобьем число по разрядам, как мы это уже делали при операции сложения. Например, нам надо найти произведение от умножения 3965 × 7. (Произведение — это результат перемножения чисел, так же как сумма — это результат сложения.)

Число 3965 можно представить как 3000 + 900 + 60 + 5.

Теперь легко произвести умножение, поскольку каждое из чисел содержит только по одной значащей цифре, а остальные — нули.

Теперь легко произвести умножение, поскольку каждое из чисел содержит только по одной значащей цифре, а остальные — нули.

Неважно, в каком порядке производить перемножение. Это можно делать справа налево, слева направо и вразбивку. Я делаю это так, как меня научили в школе, то есть справа налево. Кроме того, в школе нас учат не разбивать числа на разряды и не обращать внимания на нули. Тогда запись предыдущего примера будет проще:

Преимущества такой записи при обучении очевидны: ученик быстро и легко осваивает умножение и может быстро перемножать большие числа. Недостаток данной формы записи при обучении состоит в том, что ученик выполняет операции умножения чисто механически и часто не представляет себе, почему он так сделал.

Помимо использования этой сокращенной формы записи, мы также учимся перемножать некоторые числа в уме. Но это все вопросы техники умножения, принцип при этом остается неизменным.

Когда надо перемножить два числа, каждое из которых больше десяти, возникают небольшие дополнительные сложности. При этом мы разбиваем оба числа на разряды и перемножаем каждую часть одного числа на каждую часть другого числа. Таким образом, если надо перемножить 35 и 28, мы делаем это по следующей схеме (стрелки на рисунке показывают порядок умножения, из такой схемы, по-видимому, появился знак умножения «×»).

При перемножении больших чисел мы используем ту же методику, но даже упрощенная схема умножения, которой нас учат в школе, требует значительного внимания, иначе можно запутаться в расчетах. Вы можете убедиться в этом на приведенном ниже примере:

Конечно, и такой метод не очень прост, но он все же гораздо практичнее, чем повторное сложение. Представьте себе, в последнем случае нам пришлось бы складывать 3965 + 3965 + 3965 + 3965 + 3965 + … и так 2197 раз.

В случае сложения противоположным действием является вычитание, для умножения также есть противоположное действие, которое называется деление. Если умножение — это последовательное многократное сложение, то деление — это последовательное многократное вычитание.

Предположим, вы хотите разделить 15 на 3, это действие записывается как 15 : 3, где знак «:» обозначает деление. Один способ выполнить это действие — последовательно вычитать 3 из 15. Так, 15 - 3 = 12, 12 - 3 = 9, 9 - 3 = 6, 6 - 3 = 3, 3 - 3 = 0. Мы добрались до нуля за пять действий вычитания, то есть 15 : 3 = 5.

Но так, конечно, никто никогда не делает. Вместо этого используют ту же методику, что и в случае умножения. Если мы поделим 15 на 3, мы получим какое-то число, после перемножения которого на 3 мы опять получим 15. Мы прошли вперед, вернулись назад и оказались на первоначальном месте. (С этим мы уже сталкивались при сложении и вычитании, которые также являются обратными процессами. Если 7 - 4 = 3, то 3 + 4 = 7).

Таким образом, нашу задачу можно сформулировать следующим образом. На какое число нужно умножить 3, чтобы получить 15? Не сомневаюсь, что вы прекрасно помните таблицу умножения, которую прочно вбивают в голову школьников с младших классов, и поэтому вы автоматически вспоминаете, что для того, чтобы получить 15, надо 3 умножить на 5.

Поскольку 5 × 3 = 15, следовательно, 15 : 3 = 5 и 15 : 5 = 3. Одна и та же строчка в таблице умножения дает ответ на две задачи деления.

Обратите внимание, при делении, так же как и при вычитании, порядок членов в выражении имеет значение. 5 × 3 равно 3 × 5, но 15 : 5 не равно 5 : 15. Число, находящееся слева от знака деления, называется делимым; число, находящееся справа от знака деления, называется делителем; результат деления называется частным. Таким образом, в выражении 15 : 5 = 3, 15 — это делимое, 5 — это делитель, а 3 — это частное.