Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Ньютон рос на ферме в небольшой деревушке Вулсторп в графстве Линкольншир. Его отец скончался за два месяца до его рождения, и мать одна управлялась на ферме. Исаака отправили учиться в ближнюю школу, где он не выделялся особыми талантами, разве что отлично умел мастерить механические игрушки. Однажды он наполнил надувной шар горячим воздухом и испытал это средство воздухоплавания, посадив вместо пилота своего кота. Ни шар, ни кота никто больше не видел. Исаак поступил в Тринити-колледж в Кембриджском университете, где вполне успешно обучался по всем предметам – за исключением геометрии. Студентом он не производил впечатления будущего светила науки.

Чума

Позже, когда в 1665 г. великая эпидемия чумы опустошила Лондон и окрестности, студентов поспешно разослали по домам, пока мор не дошел до Кембриджа. Вернувшись на родительскую ферму, Ньютон стал серьезнее относиться к науке в целом и в частности к математике.

Тяготение

В 1665–1666 гг. он вывел свой закон тяготения, объясняющий движение планет, развил законы механики, чтобы проанализировать движения любого рода для всех физических тел, изобрел дифференциальное и интегральное исчисления, совершил важные открытия в оптике. Что характерно, он не спешил публиковать свои труды, но как ни в чем не бывало вернулся в колледж, получил степень магистра и стал членом Тринити-колледжа. Затем его избрали на должность Лукасовского профессора математики, а в 1669 г. подал в отставку предыдущий профессор, Барроу. Ньютон не прославился как преподаватель, на его лекциях было мало студентов.

Подход Ньютона к вычислению производных в основном напоминает подход Лейбница, только вместо dx он использовал o , а значит, его метод грешил той же логической проблемой: он давал приблизительный результат. Однако Ньютону удалось показать: если принять о за бесконечно малую величину, приближение станет намного точнее. И когда мы дойдем до предела, где o станет такой малой, какой нам угодно, ошибка исчезнет. Поэтому Ньютон утверждал, что его результат точен . Он изобрел новое слово «флюксия», чтобы подчеркнуть главную идею: величина стремится к 0, но никогда не достигает его.

В 1671 г. он создал более обширный труд, «Метод флюксий и бесконечных рядов». Первая книга, посвященная исчислению, так и не была опубликована вплоть до 1711 г., вторая увидела свет в 1736 г. Однако несомненно, что уже к 1671 г. Ньютон оперировал всеми основополагающими идеями исчисления.

Сановный противник этого метода епископ Джордж Беркли в 1734 г. в своей книге «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» указывал, что это противоречит логике: делить числитель и знаменатель на о , если впоследствии о будет равно 0. В итоге вся процедура сводится к тому, что дробь на самом деле выглядит как 0/0, а это, как всем известно, полная бессмыслица. Ньютон возражал, что он не уменьшает о до нуля, он исследует результаты того, что она сколь угодно близко подходит к 0, не становясь ему равной , и вообще его метод исследует флюксии, а не числа.

Математики пытались найти выход в аналогиях с физикой: Лейбниц прибегал к определениям «дух утонченности» и противоположному ему «дух логики», но по сути Беркли был прав. Ученым потребовался век, чтобы обнаружить убедительные ответы на его возражения, найдя для интуитивно открытого «приближения к пределу» строгое определение. Тогда-то исчисление преобразилось в более искусную науку – математический анализ . Но на протяжении этих 100 лет никого, кроме Беркли, так и не обеспокоили логические изъяны, и исчисление развивалось невзирая на них.

Метод процветал, потому что Ньютон был прав, но лишь через 200 лет его интуитивная концепция флюксий была сформулирована с безупречной логикой, в терминах пределов. К счастью для математиков, задержка с этим открытием не застопорила процесс развития науки в целом. Исчисление оказалось слишком востребованным и важным методом, чтобы отказаться от него из-за нескольких логических софизмов. Беркли в негодовании утверждал, что метод только кажется действенным, поскольку в нем различные ошибки взаимно компенсируют друг друга. Он был прав – однако понятия не имел о том, почему ошибки компенсируют друг друга. Ведь если это правда – то это и не ошибки вовсе!