Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Архимедовы исследования шара заслуживают особого внимания: мы не только знакомы с его строгим доказательством, но и знаем, как оно было открыто, – и уж в этой истории никакой строгости нет. Обоснование приводится в его книге «О шаре и цилиндре». Он доказывает, что объем шара равен двум третям от объема описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Говоря современным языком, Архимед доказал, что объем шара равен 4/ 3π r 3, где r – радиус; а площадь его поверхности равна 4π r 2. Эти формулы используются и по сей день.

В доказательствах Архимед использовал метод исчерпывания. Он имеет важное ограничение: вам необходимо знать результат заранее, чтобы повысить свои шансы доказать его. Много веков ученые не могли понять, как Архимеду удалось это узнать. Но в 1906 г. голландский ученый Йохан Гейберг наткнулся на пергамент XIII в. с записанными на нем псалмами и обнаружил под ними более ранние стертые записи. Оказалось, это труды Архимеда, причем некоторые из них были неизвестны. Такие документы (записи, затертые на пергаменте ради новых текстов) называются палимпсестами. (Поразительно, но этот же манускрипт содержит еще две утраченные работы древних авторов.) Одна из работ Архимеда, «Послание к Эратосфену о методе» (книга «Метод механических теорем»), объясняет, как угадать объем шара. Идея в том, чтобы нарезать фигуру на сколь угодно тонкие слои и поместить их на одном конце рычага, а на другом – такие же слои цилиндра и конуса, чьи объемы Архимед уже умел вычислять, и взвесить. По закону равновесия рычага мы найдем требуемое значение объема шара. Сам пергамент был приобретен частным лицом за 2 млн долл. в 1998 г.

Архимед родился в греческих Сиракузах в семье астронома Фидия. Он побывал в Египте, где предположительно изобрел архимедов винт, который вплоть до наших дней широко используется для подъема воды из Нила в ирригационные каналы. Предположительно он побывал и в Александрии у Евклида; по крайней мере, он точно вел переписку с александрийскими математиками.

Его математические способностибыли непревзойденными и обширными. Он использовал их в полном объеме и построил огромные боевые машины, пользуясь своим законом рычага, чтобы забрасывать врагов тяжелыми обломками камней. Его машины оказались незаменимы во время обороны Сиракуз, осажденных римлянами в 212 г. до н. э. Он даже сумел использовать оптическую геометрию отраженного света, чтобы поджечь атаковавшие город с моря римские корабли.

До наших дней сохранились его работы «Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах», «О равновесии плоских фигур», «О плавающих телах», «Измерение круга», «Псаммит» («Исчисление песчинок»), а также «Стомахион» и «Послание к Эратосфену о методе», обнаруженные в 1906 г. Йоханом Гейбергом.

Архимедов винт

С помощью более изощренных методов значение π несколько раз определялось с точностью до миллиардных долей. Эти вычисления интересны использованными методами, в качестве теста для компьютеров, а также из научного любопытства, хотя их результат не имеет особого значения. На практике обычно достаточно пяти-шести цифр после запятой. Последним рекордом было число с 1,24 трлн цифр, вычисленное Ясумаса Канадой и командой из девяти сотрудников в декабре 2002 г. [1] А 19 октября 2011 г. Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали число с точностью в 10 трлн цифр после запятой. Прим. науч. ред. Работа длилась 600 часов и проводилась на суперкомпьютере фирмы Hitachi.

Греческая геометрия имела ограничения; некоторые из них удалось преодолеть благодаря применению новых методов и концепций. Евклид фактически ограничил геометрические чертежи теми, что можно было выполнить с помощью линейки без делений и пары ножек циркуля (здесь акцент на слове «циркуль»: слово «пара» используется так же, как в выражении «резать бумагу парой ножниц», так что не будем излишне педантичны). Иногда говорят, что он сделал это обязательным требованием, но оно касалось его чертежей, а не общих правил. С помощью дополнительных инструментов можно было построить и иные фигуры – идеальные в той же степени, в какой может быть идеальным круг, начерченный циркулем.