Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Пять платоновых тел

• Тетраэдр образован четырьмя правильными треугольниками.

• Куб (гексаэдр) образован шестью квадратами.

• Октаэдр образован восемью правильными треугольниками.

• Додекаэдр образован 12 правильными пятиугольниками.

• Икосаэдр образован 20 правильными треугольниками.

Их связывали с четырьмя стихиями Античности: землей, воздухом, огнем и водой – и с пятым элементом – квинтэссенцией.

Во времена Евклида и позже, почти 2000 лет, математикам такое не могло и в голову прийти. Практически все относились к аксиомам как к самоочевидным истинам, чью незыблемость никто не посмел бы оспорить. Евклид недаром приложил все свои таланты, чтобы сделать аксиомы именно такими, – и почти преуспел. Однако одна – аксиома параллельности – оказалась особенно сложной и не такой уж очевидной. Многие ученые пытались вывести ее из более простых общих понятий. Позже мы увидим, к каким поразительным открытиям привели эти попытки.

Опираясь на эти простые утверждения, «Начала» обеспечивали доказательства всё более сложных геометрических теорем. Например, в книге I, теореме 5 доказывается, что углы у основания равнобедренного треугольника (у которого две стороны одинаковой длины) равны. Эта теорема была известна целому поколению викторианских школьников как pons asinorum , или «мост ослов»: чертеж, используемый в доказательстве Евклида, напоминал мост. Вдобавок это был первый серьезный камень преткновения для школяров, которые пытались зазубрить теорему, а не понять ее. В книге I, теореме 32 доказано, что сумма углов треугольника на плоскости равна 180°. В книге I, теореме 47 сформулирована теорема Пифагора.

Евклид выводил каждую свою теорему из уже доказанных теорем и разных аксиом. Он выстроил башню логики, которая тянулась всё выше, опираясь на фундамент из аксиом и используя логические выводы в качестве строительного раствора, скреплявшего кирпичи.

Сегодня нас уже не до конца удовлетворяет логика Евклида, потому что в ней есть множество прорех. Евклид слишком многие вещи принимает как данность, в наше время его список аксиом не считается полным. Например, кажется очевидным, что если линия проходит через какую-либо точку внутри круга, то она должна где-то пересекать круг, если продлить ее до нужной длины. Да, это очевидно, если вы нарисуете чертеж, но есть примеры, показывающие, что это вовсе не следует из аксиом Евклида. Евклид был выдающимся ученым, но слишком убежденным в том, что свойства, явно очевидные на чертежах, не нуждаются ни в доказательстве, ни в аксиоматике.

Всё гораздо серьезнее, чем кажется на первый взгляд. Есть немало известных примеров ошибочных суждений, ставших следствием мелких ошибок на изображении. Одно из них – «доказательство», что всякий треугольник имеет две равные стороны.

Евклид известен благодаря своему труду по геометрии «Начала» – выдающемуся и основополагающему тексту в преподавании математики на протяжении 2000 лет.

О жизни Евклида известно очень мало. Он преподавал в Александрии. Примерно в 45 г. до н. э. греческий философ Прокл писал: «Евклид ‹…› жил во времена Птолемея Первого ‹…› потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает о Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели “Начала”; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии. Значит, Евклид был старше платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена ‹…› он был поклонником Платона, исповедовал его философию и в знак этого в своих “Началах” назвал правильные многогранники платоновыми телами, составляющими основу Вселенной» .

Книга V «Начал» уводит нас в новом и неизведанном направлении от книг с первой по четвертую. Она непохожа на традиционную геометрию и, по сути, кажется бессмысленным набором слов. Как, например, понимать утверждение: «Если одни величины равно кратны по отдельности другим величинам, то и все первые совместно кратны всем вторым» (предложение 1 книги V)?

И дело не в изложении (которое я упростил). Доказательство ясно показывает нам, что имел в виду Евклид. Английский математик XIX в. Август де Морган изложил это понятным языком в своей книге по геометрии: «Десять футов десять дюймов в десять раз больше, чем один фут и один дюйм».