Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

К несчастью, этой мечте не суждено было осуществиться. По легенде, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта, обнаружил, что это утверждение ошибочно. В частности, он доказал, что диагональ единичного квадрата (квадрата со стороной, равной одной единице), иррациональна, не является дробью. Известно (хоть это и непроверенные данные, но отличная история), что он оплошал, озвучив этот факт, когда пифагорейцы пересекали на лодке Средиземное море. Его «товарищи по цеху» пришли в такое негодование, что вышвырнули его за борт, и он утонул. Но, скорее всего, дело ограничилось его отлучением от братства. Каким бы ни было наказание, оно явно говорит о том, что его открытие не привело пифагорейцев в восторг.

Современное толкование наблюдений Гиппаса состоит в том, что √2 – иррациональное число. На взгляд пифагорейцев, этот факт был ударом в спину их беззаветной вере в то, что корни Вселенной уходят в числа – целые. Дроби – отношения целых чисел – еще кое-как вписывались в это мировоззрение, но для чисел, которые доказуемо не являлись дробями, здесь места не было. Вот и вышло, что утопленный или отлученный бедняга Гиппас стал первой жертвой иррациональности – или, скорее, религиозных убеждений.

Но греки всё же нашли способ справиться с иррациональностью – благодаря тому, что любое иррациональное число можно аппроксимировать рациональным. Чем точнее приближение, тем сложнее рациональное число, и всегда остается некоторая погрешность. Делая ее всё меньше, мы получаем возможность изучать свойства иррациональных чисел, исследуя аналогичные свойства ближайших к ним рациональных. Проблема в том, чтобы поставить эту идею на те рельсы, которые были бы совместимы с подходом греков к геометрии и доказательствам. Это оказалось выполнимой, но сложной задачей.

Греческая теория иррациональных чисел была сформулирована Евдоксом примерно в 370 г. до н. э. Он стремился представить любую величину, рациональную или иррациональную, в виде соотношения двух отрезков – иными словами, парными отрезками. Таким образом, дробь 2/ 3можно представить как два отрезка, один длиной в две единицы и другой в три (соотношение 2:3). √2 можно представить парой, составленной диагональю единичного квадрата и его стороной (и это будет соотношение √2:1). Обратите внимание: здесь оба отрезка могут быть построены геометрически.

Здесь главный секрет – определить, когда эти два соотношения будут равны. Когда a: b = c: d ? Греки не имели такой системы счисления, которая позволила бы им сделать это простым делением длины одного отрезка на длину другого, и вынуждены были сравнивать a: b с c: d . А Евдокс предложил громоздкий, но точный способ сравнения, укладывающийся в условности греческой геометрии. Идея была в том, чтобы сравнивать целочисленные произведения ma и nc . Этого можно было достичь, соединяя m копий а непрерывной цепью и точно так же n копий b , а затем использовать те же множители m и n для сравнения mb и nd . Евдокс рассуждал: если соотношения a: b и c: d не равны, мы можем подобрать m и n так, чтобы увеличить разницу до такой степени, что ma > nc , но mb < nd . Действительно, так мы можем установить равенство соотношений.

Равны ли соотношения a: b и c: d?

Такое определение требует специальных навыков, зато прекрасно вписывается в ограниченные возможности греческой геометрии. Так или иначе, оно работает; более того, оно позволило греческим геометрам взять теоремы, легко доказуемые с помощью рациональных отношений, чтобы расширить их действие до иррациональных.

Часто они использовали так называемый метод исчерпывания (или, иначе, истощения), в котором некоторые видят предка современного метода пределов и интегрального исчисления. Этим методом они доказали, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Доказательство основывалось на простом факте, открытом Евклидом: площади двух подобных многоугольников соотносятся в той же пропорции, что и квадраты их соответствующих сторон. Круг представлял проблему: он не был многоугольником. Тогда греки построили две последовательности многоугольников: одну помещавшуюся внутри круга, а вторую – снаружи. Каждый следующий многоугольник всё ближе подходит к кругу, и из метода исчерпывания, доведенного до совершенства Евдоксом, следует, что площади самых близких к кругу многоугольников стремятся к его площади и в итоге совпадут с ней.