Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Тем не менее кое-что общее у математиков-первопроходцев все же есть. Они оригинально мыслят, обладают богатым воображением и весьма неортодоксальны. Они всюду ищут закономерности и наслаждаются решением сложных задач. Они уделяют пристальное внимание тонким логическим моментам, но любят и творческие прыжки через несколько логических ступеней; иногда они приходят к выводу о перспективности какого-то определенного подхода к проблеме, несмотря на то что объективных данных в его пользу почти нет, и оказываются правы. Они прекрасно умеют сосредоточиваться, но, как настаивал Пуанкаре, не должны замыкаться на задаче настолько, чтобы биться головой о стены. Они должны давать своему подсознанию возможность и время для того, чтобы все внимательно обдумать. Часто они обладают прекрасной памятью, но некоторые – к примеру, Гильберт – не могли ею похвастаться.

Кто-то из них молниеносно считал – например, Гаусс. Эйлер однажды разрешил спор между двумя математиками, где речь шла о пятидесятом знаке после запятой в сумме одного сложного ряда; для этого он вычислил сумму ряда в уме . С другой стороны, они могли путаться в простейшей арифметике, не испытывая от этого никаких видимых неудобств. (Большинство тех, кто считает с быстротой молнии, безнадежны в чем-нибудь более сложном, чем арифметика; Гаусс и в этом, как и во всем остальном, был исключением.) Они способны впитывать в себя громадные количества данных, накопленных предыдущими исследователями, выделять и усваивать их суть, но способны и полностью игнорировать все традиционные подходы. Кристофер Зееман часто говорил, что, начиная работу над задачей, не следует читать посвященную ей исследовательскую литературу, поскольку чужие результаты непременно загонят ваш разум в те же колеи, по которым двигались и в которых застревали остальные. Тополог Стивен Смейл в самом начале своей карьеры решил задачу, которую все считали поистине непреодолимой, – никто ведь не сказал ему, что это сложная задача.

Почти все математики обладают сильной интуицией, формальной или визуальной. Я говорю в данном случае о зрительных центрах мозга, а не о зрении: продуктивность Эйлера выросла , когда он ослеп. В книге «Психология процесса изобретения в области математики» Жак Адамар задает многим ведущим математикам вопрос о том, как именно они размышляют об исследовательских задачах: в символьном виде или с использованием ментальных образов того или иного рода. Оказалось, что почти все математики, за редким исключением, пользовались визуальными образами, даже когда сама задача и ее решение были в основном символьными. К примеру, мысленный образ, которым для Адамара сопровождалось Евклидово доказательство существования бесконечного количества простых чисел, включал не алгебраические формулы, но беспорядочную массу, представлявшую собой известные простые числа, и точку в стороне от этой массы, представлявшую собой новое простое число. Смутные метафорические образы попадались часто, а формальные схемы, как у Евклида, – редко.

Тенденция к использованию визуальных (и тактильных) образов прослеживается еще в «Алгебре» аль-Хорезми, название которой отсылает к понятию равновесия. Задействованный в ней образ преподаватели нередко используют и сегодня. Две стороны уравнения рассматриваются как набор объектов, помещенных на разные чаши весов, которые необходимо уравновесить. Тогда алгебраические операции производятся одновременно над обеими сторонами, чтобы не нарушать равновесия. В конце концов у нас получается неизвестная величина на одной чаше весов и некое число на другой: это и есть ответ. Математики при решении уравнений часто представляют себе, как движутся символы. (Вот почему они до сих пор любят доску и мел: чтобы обозначить движение, достаточно что-то стереть, а что-то переписать.) В «Алгебре» аль-Хорезми присутствует и более очевидное геометрическое мышление с рисунками, на которых изображается дополнение квадрата при решении квадратного уравнения. По легенде, один математик умудрился прочесть довольно сложную лекцию по алгебраической геометрии, нарисовав на доске одну-единственную одинокую точку, представляющую собой некую «общую точку». Во время лекции он на нее ссылался, отчего содержание лекции стало намного понятнее. Школьные доски по всей планете, не говоря уже о салфетках и иногда скатертях, плотно исписаны заумными символами и изрисованы жутковатыми каракулями. Каракули эти могут представлять все что угодно – от десятимерного многообразия до алгебраического числового поля.