Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Одну из отчаянных попыток избежать бесконечных процессов в геометрии предпринял Демокрит. Он попробовал построить геометрию на основе своего учения об атомах. Если бы эта попытка удалась, геометрия приняла бы совсем иной вид. Но еще до появления на свет Демокрита в школе Пифагора было доказано, что сторона квадрата несоизмерима с его диагональю. А этого никак не могло случиться, если бы и сторона квадрата и его диагональ состояли из конечного числа неделимых частей. Кроме того, хотя Демокрит и сумел своим методом вычислить объем пирамиды, он не мог понять, равны ли соседние сечения пирамиды — если они равны, то пирамида не может сужаться к вершине, а если они различны, то пирамида шершава. Поэтому его учебник геометрии был вытеснен знаменитыми "Началами" Евклида, основанными на идее безграничной делимости пространства, а философам пришлось искать иные пути для опровержения апорий Зенона.

Много размышлял о бесконечности и ее свойствах один из величайших философов древности Аристотель. Говоря в своих сочинениях об этом предмете, он предупреждает, что здесь приходится ходить по очень зыбкой почве. Слишком много противоречий накопилось вокруг этого понятия со времен Зенона и Демокрита. Поэтому Аристотель признавал, что "много невозможного следует и за отрицанием существования бесконечного, и за признанием". Он указывал на пять оснований, приводящих к мысли о существовании бесконечности. Четырьмя из них были: бесконечность времени, бесконечное разделение величин, используемое в математике, необходимость бесконечности, чтобы не иссякли возникновение и уничтожение, и то, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, а потому не может быть предела конечному. Самым же важным основанием Аристотель считал пятое, а именно что мышление ни на чем не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что лежит за небом. А если лежащее за небом бесконечно, говорил он, то существует множество миров.

И все же, несмотря на такие веские доводы, Философ (так обычно называли в древности Аристотеля) отказался принять идею о существовании бесконечного мира, сказав, что в вопросе о бесконечном доверять мышлению нельзя. Мы не будем следовать за всеми тонкостями рассуждений Аристотеля, в которых он анализирует различные следствия из предположения о существовании бесконечности.

Наиболее важно для нас проведенное им различение двух видов бесконечности: актуальной и потенциальной, то есть, иначе говоря, существующей и становящейся. Примером актуальной бесконечности может служить совокупность частей отрезка, подвергнутого разбиению по Зенону, а примером потенциальной бесконечности — развивающийся во времени процесс деления этого отрезка. Кроме того, Аристотель различал виды бесконечности, называемые сейчас экстенсивной и интенсивной. Первая из них возникает при последовательном и безграничном добавлении новых предметов, а вторая — при безграничном углублении в строение изучаемого объекта.

Аристотель признавал существование лишь потенциальной бесконечности и говорил: "Бесконечность не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемая чувствами... Бесконечное существует потенциально, бесконечное есть движение...".

Аргументы же Зенона он отвергал, говоря, что движущееся движется, не считая. Разумеется, отвергал Аристотель и предположения о бесконечности Вселенной, считая ее ограниченной крайней сферой, за которой уже нет ни тела, ни места. В то же время в отличие от Платона, думавшего, что мир создан неким демиургом (творцом), Аристотель утверждал несотворимость и вечность мира (впоследствии это навлекло на него упреки многих богословов).

После Аристотеля было признано, что "наука истинна лишь постольку, поскольку основывается на предположении, что непрерывное не состоит из неделимого".

Пришлось и математикам отказаться от использовании понятия бесконечности в своей науке. Например, в "Началах" Евклида оно не используется даже там, где было бы вполне естественно. Евклид не говорит даже, что простых чисел бесконечно много, а утверждает лишь, что их больше, чем любое заранее заданное натуральное число. Он никогда не пользуется движениями бесконечной плоскости, а передвигает лишь треугольники и другие конечные фигуры, да и этими движениями старается пользоваться поменьше — после Зенона понятие движения считалось логически ненадежным.