Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

От чистой математики не отставала и физика со своими головоломными проблемами, решение которых также время от времени приводило к появлению гигантских чисел. На этом фронте одним из первых стал французский математик, физик-теоретик и ученый-энциклопедист Анри Пуанкаре, среди многочисленных трудов которого – исследования того, сколько времени требуется физической системе, чтобы вернуться в определенное исходное состояние. Когда речь идет о вселенной, так называемое время возвращения Пуанкаре – это промежуток времени, необходимый для того, чтобы вещество и энергия, пройдя через немыслимое количество преобразований, перераспределились до состояния, которое в точности, вплоть до субатомного уровня, повторяет начальное. По оценке канадского теоретика Дона Пейджа, в прошлом аспиранта Стивена Хокинга, для наблюдаемой Вселенной время возвращения Пуанкаре составляет 10 10^10^10^2,08лет. Это число больше гуголплекса и находится где-то посередине между малым и большим числами Скьюза. Пейдж также рассчитал максимальное время возвращения Пуанкаре для любой вселенной определенного типа. Оно еще больше – 10 10^10^10^10^1,1лет, что превосходит и второе из чисел Скьюза. Что касается самого гуголплекса, Пейдж отметил, что тот приближенно равен количеству микросостояний в черной дыре, сравнимой по массе с галактикой Андромеды.

И “невыразимое”, и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года. Так же как и числа Скьюза, число Грэма – результат работы над серьезной математической проблемой, на этот раз связанной с теорией Рамсея. Приближаться к числу Грэма нам придется постепенно, подобно альпинистам, покоряющим высочайшие вершины мира. Первым шагом будет знакомство с особым способом записи больших чисел, изобретенным американским ученым в области информатики Дональдом Кнутом и известным как стрелочная нотация. Она основана на том факте, что умножение всегда можно представить как многократное сложение, а возведение в степень – как многократное умножение. Например, 3 × 4 – это то же самое, что 3 + 3 + 3 + 3, а 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3. В нотации Кнута возведение в степень обозначается одиночной стрелкой, направленной вверх: например, гугол, или 10 100, записывается как 10↑100, а три в кубе, или 3 3, – как 3↑3. Повторное возведение в степень, для которого нет специального стандартного обозначения, записывается в виде двух стрелок: таким образом, 3↑↑3 = 3 3^3. Операция ↑↑, называемая тетрацией (поскольку она идет четвертой в иерархии после сложения, умножения и возведения в степень), – штука гораздо более сильная, чем может показаться на первый взгляд. 3↑↑3 = 3 3^3 = 3 27, что равно 7 625 597 484 987.

Тетрацию можно представить и в виде степенной башни (кошмар любого наборщика). Если с числом a требуется произвести операцию тетрации порядка k , это записывается следующим образом:

Иначе говоря, число a возводится в степень, представленную башней высотой в k – 1 этаж.

Темп, с которым растет результат математического действия при добавлении новых стрелок, просто ошеломляет: если 3 × 3 = 9, то 3↑3 дает 27, а 3↑↑3 уже больше 7,6 триллиона (13-значное число). Результат тетрации числа 4 еще поразительнее: 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, что приблизительно равно 10↑10↑154 – то есть больше гуголплекса (10↑10↑100). Перевалить за это огромное число нам удалось с помощью всего-то одной четверки и нескольких простых значков.

Но раз мы сделали такой гигантский шаг, перейдя от простого возведения в степень к тетрации, то, наверное, если добавить еще одну стрелку, можно получить что-то еще более впечатляющее? Что ж, интуиция нас не обманывает. При повторной тетрации, называемой пентацией, результат вырастает так, что аж дух захватывает! Ничем не примечательная запись 3↑↑↑3 – это то же, что 3↑↑3↑↑3, что, в свою очередь, равно 3↑↑7 625 597 484 987, или 3↑3↑3↑3…↑3, – а это уже степенная башня высотой в 7 625 597 484 987 троек. Если башни в 4 этажа достаточно, чтобы получить число, превышающее гуголплекс, только представьте себе, что получится в этом случае. Это невообразимо большое число: человеческой жизни не хватит, чтобы записать его даже в виде степенной башни . В напечатанном виде такая башня дотянется до самого Солнца. Это число, известное как “тритри”, значительно больше любого из тех, что мы упоминали до сих пор; осмыслить его нам, простым смертным, почти невозможно. А ведь мы еще только начали. Тритри, при всей своей величине, – ничтожная песчинка рядом с величественным пиком, который представляет собой число Грэма. Добавив еще одну стрелку, получим 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑тритри. Давайте разберемся, что это значит. В нагромождении степенных башен самая первая у нас 3; вторая – 3↑3↑3, или 7 625 597 484 987; третья – 3↑3↑3↑3…↑3 c 7 625 597 484 987 тройками, то есть тритри; четвертая – 3↑3↑3↑3…↑3, где тритри троек; и так далее. 3↑↑↑↑3 – это башня под номером тритри. Добавив к трем стрелкам еще одну, мы шагнули на гигантское расстояние, так далеко, что уму непостижимо. А пришли всего лишь к g 1 – самому первому из серии чисел g , необходимых для того, чтобы добраться до вершины, то есть до самого числа Грэма. После передышки в базовом лагере g 1продолжаем подъем до следующего лагеря, g 2. Помните, что, добавляя в запись числа всего одну стрелку, мы каждый раз увеличиваем его на чудовищную величину. Теперь внимание! Число g 2 – это 3↑↑↑↑…↑3 с количеством стрелок, равным g 1. Даже робкая попытка осмыслить его масштаб, понять, насколько грандиозными могут быть числа, вызывает головокружение. Всего одна дополнительная стрелка увеличивает результат на феноменальную величину, а в числе g 2таких стрелок g 1. В числе g 3, как вы уже наверняка догадались, g 2стрелок, в числе g 4 – g 3стрелок и так далее. А само число Грэма, G , – это g 64. В 1980 году оно было занесено в “Книгу рекордов Гиннесса” как самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве.