Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Итак, вторая теорема о неполноте оказывается ложной, если мы применим при доказательстве семантические методы. Но что произойдет с первой теоремой Гёделя? Можно доказать, что если мы допустим семантические методы, то любая арифметическая истина доказуема на основе аксиом Пеано. Под семантическими методами мы понимаем те, что основаны на понятии истины. Логическое правило, которое используется в этих рассуждениях, таково: из Р выводится Q, если во всех мирах (или моделях), где Р истинно, Q также истинно (см. рисунок). Вновь возьмем пример доказательства, который мы рассматривали в главе 2, и зададимся вопросом, справедлив ли вывод:

из равенства (а - b) · а = (а - b) с мы делаем вывод, что а = с,

где Р — это высказывание "(а - b) · а = (а - b) · с", a Q — это "а = с". Вывод несправедлив, поскольку существует модель (пример), в которой Р истинно, a Q ложно. Действительно,

если мы возьмем а = b = 2 и с = 3, то получается, что Р истинно, a Q ложно.

При заданном высказывании существует потенциально бесконечное число миров, где оно может быть истинным. Значит, если на одном шаге семантического доказательства мы говорим, что из Р выводится Q, чтобы узнать, верно ли это, нам придется проверить потенциально бесконечное число случаев, где Р истинно, и убедиться, что во всех также истинно Q. Это предполагает бесконечное число проверок, которое не может быть осуществлено компьютером. Также неясно, может ли оно быть осуществлено человеческим разумом.

Евклидова геометрия, изложенная в работе ученого "Начала" (III век до н. э.), основана на пяти постулатах, или аксиомах, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. Через две точки можно провести единственную прямую.

2. Отрезок можно продолжить из любого его конца.

3. При любом центре и любом радиусе можно провести окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Итальянский математик Эудженио Бельтрами.

Первые четыре постулата очевидны, но пятый имеет высокую понятийную сложность и может оказаться не таким явным, как остальные. На самом деле оригинальная формулировка Евклида для пятого постулата была еще сложнее (выше приведена самая известная формулировка, предложенная английским математиком Джоном Плейфэром в конце XVIII века). Интересно добавить, что в своих доказательствах Евклид старался меньше использовать пятый постулат (как будто он сам немного не доверял его справедливости).

В течение многих веков считалось, что пятый постулат можно доказать на основе четырех других. Было сделано много попыток найти доказательство, но все они провалились. Наконец, в 1868 году Эудженио Бельтрами доказал, что пятый постулат неразрешим относительно остальных четырех, то есть ни сам постулат, ни его отрицание не могут быть доказаны на их основе. Это был первый в истории известный пример неразрешимости относительно множества аксиом — за несколько десятков лет до того, как Гёдель доказал свою теорему. У пятого постулата есть два отрицания: в одном из них говорится, что через точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной, в другом — что через нее проходит больше одной параллельной прямой. Как пятый постулат, так и его отрицания могут быть добавлены к оставшимся четырем, и во всех случаях получается непротиворечивое множество аксиом. Когда добавляется пятый постулат, получается, конечно же, геометрия Евклида; в оставшихся двух случаях возникают так называемые неевклидовы геометрии. Сегодня считается, что все эти геометрии одинаково справедливы; неевклидовы больше подходят для описания эйнштейновского пространства, искривленного присутствием масс, в то время как евклидова больше приспособлена к нашему восприятию повседневных явлений.

Это приравнивает математику к естественным наукам. В физике, например, любая теория является предварительной. То, что гравитационное притяжение между двумя телами уменьшается согласно квадрату расстояния, — это предварительное утверждение, поскольку мы никогда не сможем проверить силу гравитационного притяжения для всех пар тел, существующих во Вселенной, на всех возможных расстояниях. Утверждение истинно... пока не найдена ситуация, в которой оно не работает.