Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Для платонизма, наоборот, аксиомы теории множеств отражают истину, которая существует объективно и в которой СН либо истинна, либо ложна, и не хватает всего лишь аксиомы, которая позволила бы решить вопрос.

Гёдель был убежденным платонистом и в статье, опубликованной в 1947 году под названием "Что представляет собой проблема континуума Кантора?", писал: "Следует отметить [...], что с точки зрения, принятой здесь, доказательство неразрешимости гипотезы Кантора на основе аксиом, принятых в теории множеств, [...] в какой-то степени решило бы проблему. Итак, если принять, что значение первичных символов теории множеств [...] корректно, то понятия и теоремы теории множеств описывали бы некую точно определенную действительность, в которой гипотеза Кантора должна была бы быть истинной или ложной". Позже, в 1963 году, дополнив доказательство о неразрешимости СН, Пол Коэн согласился с этой точкой зрения и рискнул предположить, что гипотеза Кантора на самом деле ложна.

Китайские шахматы — стратегическая игра из той же серии, что и западные шахматы и сёги (японские шахматы). Считается, что все они происходят от игры под названием чатуранга, зародившейся в Индии в VI веке. Для формалистов (которые подчеркивают синтаксические аспекты математики) выбор аксиом для математической теории не сильно отличается от определения правил настольной игры. Западные, китайские или японские шахматы — родственные настольные игры, но среди них нет "истинной" и "ложных". Подобно этому, поскольку континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств, можно добавить СН или ее отрицание в качестве новой аксиомы. В обоих случаях получаются разные теории множеств (разные правила игры), и нельзя сказать, что одна из них истинная, а другая ложная. Для платонистов, наоборот, теория множеств относится к объективной действительности, в которой континуум-гипотеза на самом деле истинна или ложна.

Доска китайских шахмат с исходной позицией фигур.

РИС. 1

Как мы уже сказали, на Гиббсовской лекции 1951 года Гёдель утверждал, что его теоремы о неполноте доказывают справедливость платонистической точки зрения.

Рассмотрим кратко аргументацию Гёделя. В разуме каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое натуральные числа. Мы понимаем, как определяются основные операции и каковы их основные свойства. Например, мы воспринимаем, что умножение 8 на 5 равносильно физической операции образования восьми столбиков с пятью объектами в каждом из них (рисунок 1).

РИС. 2

Следовательно, у нас есть мысленная модель натуральных чисел, их структуры, которую изучают математики. С другой стороны, первая теорема Гёделя о неполноте доказывает, что эта модель не может быть полностью охарактеризована синтаксическими методами, то есть если мы ограничимся синтаксическими методами рассуждения, всегда найдутся недостижимые истины. Синтаксических методов доказательства недостаточно, чтобы постичь все свойства модели, которую мы не способны понять семантически. Это предполагает, согласно Гёделю, что эта мысленная модель, эти сущности, которые мы называем натуральными числами, со всеми их свойствами и взаимоотношениями, существуют в платонической реальности, находящейся за гранью чистой лингвистики (рисунок 2).

Парадокс Бертрана Рассела был в конце концов решен благодаря переформулировке аксиом теории множеств, предложенной немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году и улучшенной через несколько лет также немецким математиком Абрахамом Френкелем. Хотя существовали и другие аналогичные предложения (одно из них было представлено самим Гёделем), аксиоматическая теория Цермело — Френкеля (или ZF, как ее обычно называют) сегодня является теорией множеств по умолчанию.

1. Два множества равны, если они имеют в точности одни и те же члены.

2. Существует пустое множество.

3. При заданных х и у существует упорядоченная пара (х, у).