Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Можно было бы подумать, будто N и R имеют разные кардинальные числа потому, что N — дискретное множество (то есть его графическое представление заключено в изолированных точках), в то время как R не является таковым (между двумя действительными числами всегда есть другие действительные числа, в R нет изолированных точек).

Однако дело не в этом. Возьмем множество рациональных чисел, которое обычно обозначается буквой Q и в котором содержатся все рациональные числа, то есть те, что можно представить в виде дроби (или в виде частного двух целых чисел). Например, 1/2 = 0,5 и -4/3 = -1,333... рациональные числа, в то время как √2 = 1,4142... и π = 3,1415... таковыми не являются. Целые числа включены в рациональные, поскольку, например, 6 = 6/1. Хотя рациональные числа не заполняют всю числовую прямую, они не дискретны: между двумя рациональными числами всегда есть другое рациональное число. Например, между двумя рациональными числами всегда лежит среднее для них число. Так, между 1/3 и 1/2 находится

между 1/3 и 5/12 находится среднее для них число, а между 1/3 и этим средним числом — их среднее число, и так далее (схема выше).

Несмотря на то что Q — плотное множество, а N — дискретное, между ними можно установить биективное соответствие. Один из способов сделать это показан на схеме, где появляются все рациональные числа, а стрелки указывают путь, вдоль которого можно пройти один раз через каждую дробь. Способ установления последовательности следующий: первому числу пути (то есть 0) соответствует натуральное число 1, второму (то есть 1) — натуральное число 2, третьему (то есть 1/2) — число 3, и так далее. Пояснение: дробь -2/2 занимает седьмое место на пути, и сначала мы должны были бы назначить ему натуральное число 7. Однако -2/2 равно -1 (-1 и -2/2 — это одно и то же число, записанное по-разному), а числу -1 мы до этого назначили натуральное число 5. Мы не можем назначить 5 числу -1, а 7 — числу -2/2, поскольку это одно и то же число. Способ решения этой проблемы — просто опустить -2/2 и назначить 7 следующей дроби, то есть -2/3.

Для получения первого знака после запятой числа мы берем первую цифру диагонали и прибавляем к ней 1 (если бы это было 9, взяли бы 0). В примере наше первое число диагонали — 3, так что наше число будет начинаться с 0,4.

Для получения второго знака после запятой числа мы прибавляем 1 ко второму числу диагонали (если это 9, берем 0). Для третьего знака после запятой мы пользуемся третьим числом диагонали и так далее. В нашем примере искомое число начинается с 0,41162...

Число, которое мы только что вычислили, не назначено никакому натуральному числу. Оно не может быть назначено первому числу, потому что они отличаются первым знаком после запятой. Также оно не может быть назначено второму числу, потому что они отличаются вторым знаком после запятой. Также оно не может быть назначено третьему числу, потому что они отличаются третьим знаком после запятой, и так далее.

Поскольку существует число, которое избежало назначения, наш пример не может представлять собой биективного соответствия между N и R. Любая попытка такое соответствие определить провалится по описанной причине, следовательно, мы не можем утверждать, что у множеств N и R одно кардинальное число.

Кардинальное число действительных чисел больше, чем кардинальное число натуральных. Кантор доказал это в 1873 году и сразу же задался вопросом, существует ли некое множество, кардинальное число которого больше N, но меньше R? В течение нескольких лет он предпринял много попыток найти промежуточное множество между N и R, но ему это так и не удалось. В конце концов, в 1877 году он сформулировал гипотезу о том, что промежуточного множества не существует. Она стала известна как континуум-гипотеза: "Не существует такого множества А, что card (N) < card (А) < card (R)".

Пол Джозеф Коэн родился в Лонг- Бренче (Нью-Джерси, США) в 1934 году в семье польских иммигрантов. С самого раннего возраста он демонстрировал экстраординарные математические способности и считался вундеркиндом. Это позволило ему, несмотря на скудные финансы родителей, учиться в лучших школах Нью- Йорка. Коэн получил высшее образование в Чикагском университете, где в 1958 году защитил докторскую диссертацию, в которой обобщал проблему единственности представления периодической функции рядом Фурье (над этой проблемой работал в начале 1870-х Кантор, и она привела его к разработке собственной теории).