Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

"162 делится на 18" ↔ код 103

"4 — нечетное число" ↔ код 149

"171 — четное число" ↔ код 61.

Мы настаиваем: коды не назначаются наугад или произвольно. Напротив, существует алгоритм, который при заданном высказывании позволяет точно вычислить его код. Также существует обратный алгоритм, который при заданном коде может восстановить высказывание, которому он соответствует. Более того, в действительности коды, если их правильно вычислить, могут содержать десятки цифр. Например, при реальном вычислении утверждению "1 = 1" соответствует код 2187000000000.

Заметим, что в нашем примере два последних высказывания ложны. Это показывает, что числа Гёделя назначаются всем высказываниям, как истинным, так и ложным. С технической целью числа Гёделя также назначаются общим выражениям, таким как "х — четное число" или "х делится на 18". Они относятся не к конкретному числу, а к переменному числу х. Эти выражения Бертран Рассел называл пропозициональными функциями.

Сами по себе пропозициональные функции не являются высказываниями, поскольку высказывание по определению должно быть истинным или ложным, в то время как истинность или ложность фразы "х — четное число" зависит от значения х. Каждый раз, когда мы заменяем х конкретным числом, мы получаем высказывание, которое будет истинным или ложным в зависимости от выбранного числа. Например, если в "х — четное число" заменить х числом 8, то мы получим истинное высказывание "8 — четное число". Наоборот, если заменить х числом 3, мы получим ложное высказывание "3 — четное число".

Мы уже сказали, что каждой пропозициональной функции также назначается число Гёделя (как и для высказываний, эти коды вычисляются с помощью установленного алгоритма). Например, мы можем представить, что:

"х делится на 18" ↔ код 162

"х — четное число" ↔ код 171.

Заметим, что "х — четное число" назначается код 171, в то время как высказыванию "2 — четное число" соответствует код 223. Коды разные, и это правильно, поскольку речь идет о разных лингвистических объектах. Точно так же "1 — четное число", "3 — четное число", "4 — четное число" имеют разные числа Гёделя.

Наконец, число Гёделя также назначается каждой конечной последовательности высказываний (которое вычисляется на основе кодов высказываний, образующих последовательность). Идея этого назначения в том, чтобы гарантировать, что каждое доказательство также можно будет идентифицировать по его коду. Например, следующему доказательству того, что "4 = 2 + 2" на основе аксиом "S(x + у) = х + S(y)" и "х + 1 = = S(x)":

S(x + y)=x + S(y) 173

S(2 + 1)-2+ S(1) 199

S(2 + 1) = 2+ 2 13

х + 1 = 5(х) 37

2 + 1 = 5(2) 83

2 + 1=3 7

S(3) = 2+ 2 251

4 = 2 + 2 67

может соответствовать (гипотетически) код 2414871965597, который мы вычислили как произведение кодов высказываний, его образующих (они указаны рядом с соответствующим высказыванием).

Как в действительности определяется нумерация Гёделя? Чтобы определить ее, каждое высказывание и каждая пропозициональная функция должны быть выражены с помощью символов формального языка. Ученый назначил каждому символу этого языка нечетное число.

1

=> 3

┐ 5

= 7

1 9

S 11

+ 13

· 15

( 17

) 19

x 121

х 223

х 325

Количество переменных потенциально бесконечно. Оставшимся (х 4, х 5, ...) соответствуют числа 27, 29 и так далее. Гёдель назначил коды высказываний и пропозициональных функций. Для большей ясности объясним метод на конкретном примере. Какой код соответствует, например, высказыванию "1 = 1"? Шаги для его вычисления следующие.

1. Сначала остановимся на кодах символов, образующих высказывание: 9, 7,9.

2. Поскольку есть три символа, теперь возьмем по порядку три первых простых числа: 2, 3, 5.

3. Тогда код следующий: 2 9· З 7· 5 9= 2187 000 000 000. (Заметьте, что простые числа — это основания степеней, а коды символов — показатели степеней.)

Для вычисления числа Гёделя конечной последовательности высказываний поступают похожим образом, только на шаге 1 берутся по порядку коды высказываний, образующих последовательность, а на последнем шаге они становятся показателями степеней простых чисел.

Конечно же, как и в предыдущих случаях, должен существовать механический способ, указывающий, как вычислить код последовательности высказываний, и другой, обратный способ, который при заданном коде позволил бы восстановить последовательность соответствующих ему высказываний. Наше правило вычисления кода последовательности как произведения индивидуальных кодов неверно, потому что игнорируется порядок высказываний (при перестановке высказываний местами код конечной последовательности остается тем же самым, но этого не должно происходить, так как при перестановке на самом деле получается другая последовательность). Однако, поскольку речь идет только о гипотетическом примере, мы не будем останавливаться на этом вопросе.