Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Здесь есть возможность читать онлайн «Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: М.:, Год выпуска: 2015, Издательство: ООО «Де Агостини»,, Жанр: Математика, sci_popular, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.

У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать
В 1900 году Гильберту было предложено прочитать инаугурационный доклад на - фото 15

В 1900 году Гильберту было предложено прочитать инаугурационный доклад на Втором Международном математическом конгрессе в Париже. Это была почетная задача, которая говорила о признании, которое ученый заслужил своей блистательной карьерой. До сих пор, даже век спустя, доклад Гильберта широко известен, и его полный текст можно найти в интернете. Анализу этого выступления были посвящены целые книги.

В своем докладе Гильберт представил 23 нерешенные математические проблемы, принадлежащие к разным областям этой науки, решение которых, как он думал, определит направление математических исследований XX века. Первая проблема связана с теорией Кантора и известна как континуум-гипотеза. Она была впервые поставлена самим Кантором в 1880-х годах, причем сам ученый так и не решил ее. Позже мы вернемся к этой проблеме, поскольку Гёдель в 1940 году нашел частичное решение, которое затем было дополнено Полом Коэном.

Решение поместить континуум-гипотезу на первое место в списке следует трактовать как открытую поддержку Гильбертом теории множеств Кантора. В первые годы полемики об основаниях математики Гильберт держался в стороне, возможно надеясь на то, что интуиционистская точка зрения падет под тяжестью собственного веса. Но к 1920 году логицизм начал приходить в упадок, а интуиционизм набирал все больше сторонников. Именно поэтому в итоге Гильберт решил выступить лично. Под лозунгом «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор» ученый решил остановить интуиционизм. Для этого он предложил третье решение проблемы, поставленной парадоксом Рассела. Оно было направлено на то, чтобы привлечь внимание сторонников интуиционизма и одновременно оставить нетронутой теорию Кантора.

Привлечь интуиционистов, но в то же время спасти теорию Кантора? Казалось, это невозможная задача, поскольку интуиционисты открыто отвергали актуальную бесконечность как абсурдное понятие. Но Гильберт был Гильбертом, и с помощью своего ума, ловкости и хитрости он добился своей цели.

ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА

В 1920 году Курту Гёделю было 14 лет, и в своем родном городе Брно он, возможно, мечтал о научной карьере. В то же время в Геттингене 58-летний Давид Гильберт начал примирение интуиционистов с актуальной бесконечностью. Эта работа займет десять лет.

Как уже было сказано, интуиционистская мысль находилась полностью во власти идеи конечности. Они считали, что существуют только объекты, которые можно построить механически на основе натуральных чисел за конечное количество шагов. Иррациональные числа, такие как π или √2, могли рассматриваться лишь как недостижимый результат последовательных вычислений, основанных на специфических формулах.

Предложение Гильберта, по сути, заключалось в том, чтобы привести требование конечности математических объектов к математическим рассуждениям. Мы можем перефразировать его мысль следующим образом. Установим такие методы рассуждения, чтобы правильность нашей аргументации можно было проверить алгоритмически за конечное количество шагов (алгоритм — это механический процесс, выполнимый компьютером). Кроме того, убедимся тем же «конечным» способом, что наши доказательства никогда не приведут к парадоксу. Как только мы достигнем этой цели, в наших теориях можно будет говорить о любом объекте, даже об актуальной бесконечности.

В программе Гильберта, которую также называют формальной программой, утверждается, что любая математическая теория должна быть основана на аксиомах, то есть на некоторых базовых утверждениях, принятых в качестве истинных. Любое другое утверждение должно быть доказано на основе этих аксиом с помощью рассуждений, справедливость которых можно будет проверить механически за конечное число шагов. Кроме того, непротиворечивость этих аксиом (то, что они никогда не приведут нас к парадоксу, как это произошло с Фреге) также должна быть проверена тем же механическим, или алгоритмическим, способом.

Для начала целью Гильберта была разработка такой программы для арифметики — теории, относящейся к свойствам сложения и умножения натуральных чисел (в ней идет речь о самых простых числах и самых простых операциях). Гильберт, как и интуиционисты, поддерживал идею о том, что основой всей математики должна быть арифметика, а не теория множеств. Если установить прочную базу для арифметики, будет легко добиться таких же прочных оснований для всех остальных теорий.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.»

Обсуждение, отзывы о книге «У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x