Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

На первый взгляд кажется, что мистеру Блэку следует остановить свой выбор на втором варианте труэли. Однако существует третий, еще лучший выбор. Мистер Блэк может выстрелить в воздух. Право следующего выстрела переходит к мистеру Грею, который стреляет в мистера Уайта как более опасного оппонента. Если мистер Уайт остается в живых, то он стреляет в мистера Грея как более опасного противника. Стреляя в воздух, мистер Блэк предоставляет мистеру Грею исключить мистера Уайта.

Третий вариант — наилучшая стратегия для мистера Блэка. Мистер Грей или мистер Уайт в конечном счете погибает, после чего мистер Блэк стреляет в того из них, кто остается жив. Выстрелом в воздух мистер Блэк изменяет ситуацию: вместо первого выстрела в труэли он производит первый выстрел в дуэли.

В математике важно иметь точные формулы, позволяющие вычислять сумму различных последовательностей чисел. В данном случае мы хотим вывести формулу, дающую сумму первых n натуральных чисел.

Например, «сумма» всего лишь одного первого натурального числа 1 равна 1; сумма двух первых натуральных чисел 1+2 равна 3, сумма первых трех натуральных чисел 1+2+3 равна 6, сумма первых четырех натуральных чисел 1+2+3+4 равна 10 и т. д.

Возможно, что требуемая формула имеет вид

Σ( n ) = ½· n ( n + 1).

Иначе говоря, если требуется найти сумму n первых натуральных чисел, то нужно просто подставить число n в приведенную выше формулу и получить ответ.

Доказательство по индукции позволяет убедиться в том, что эта формула дает правильный ответ при любом натуральном числе от 1 до бесконечности. Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что формула работает в первом случае, при n =1. В этом нетрудно убедиться непосредственно, так как мы знаем, что сумма, состоящая из одного-единственного слагаемого, числа 1, равна 1. Подставляя n =1 в нашу формулу убеждаемся в том, что она дает правильный результат:

Σ(1) = ½·1·(1 + 1).

Следующий шаг в доказательстве по индукции заключается в том, чтобы показать, что если формула верна при каком-то значении n , то она должна быть верна и при n +1. Если

Σ( n ) = ½· n ( n + 1).

то

Σ( n + 1) = Σ( n ) + ( n + 1) = ½· n ( n + 1) + ( n + 1).

После преобразования членов в правой части получаем

Σ(n + 1) = ½·(n + 1)[(n + 1) + 1].

Важно отметить, что последняя формула «устроена» точно так же, как исходная формула с той лишь разницей, что там, где в исходной формуле стоит n , в новой формуле стоит n +1. Иначе говоря, если формула верна для n , то она должна быть верна и для n +1. Доказательство по индукции завершено.

При создании книги я опирался на многие книги и статьи. Помимо тех источников, которыми я пользовался при написании каждой главы, мною указаны материалы, которые могут представить интерес как для обычного читателя, так и для специалиста. В тех случаях, когда заголовок источника не позволяет судить о том, какое отношение данный источник имеет к теме книги, я счел возможным пояснить содержание источника одной или двумя фразами.

1 Bell Е. Т. The Last Problem. — Mathematical Association of America, 1990.

История классического периода поисков доказательства Великой теоремы Ферма в популярном изложении.

2 Ralph L. Pythagoras — A Short Account of His Life and Philosophy. — Krikos, 1961.

3 German P. Pythagoras — A Life. — Routledge and Paul Kegan, 1979.

4 Heath Th. A History of Greek Mathematics. Vol. 1, 2. — Dover, 1981.

5 Gardner M. Mathematical Magic Show. — Knopf, 1977.

Сборник математических задач-головоломок по материалам раздела «Математические игры» журнала «Scientific American».

6 Stollum H.-H. River meandering as a self-organization process // Science, 1996. Vol. 271, P. 1710–1713.

1 Mahoney M. The Mathematical Career of Pierre de Fermat. — Princeton University Press, 1994.

Подробное исследование, посвященное жизни и деятельности Пьера де Ферма.

2 Huffman P. Archimedes' Revenge. — Penguin, 1988.

Увлекательные рассказы о радостях и горестях математики.

1 Bell Е. Т. Men of Mathematics. — Simon and Schuster, 1937.

Биографии величайших гениев в истории математики: Эйлера, Ферма, Гаусса, Коши и Куммера.

2 Lloyd M., Dybas H. S. The periodical cicada problem // Evolution, 1966. Vol. 20, P. 466–505.

3 Osen L. M. Women in Mathematics. — MIT Press, 1994.

В основном, это нематематический текст с биографиями многих выдающихся математиков-женщин, в том числе Софи Жермен.

4 Peri Т. Math Equals: Biographies of Women Mathematicians + Related Activities. — Addison-Wesley, 1978.