Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

Следовательно, для каждой конфигурации всегда существует по крайней мере эта прямая, которой принадлежат только две точки диаграммы, и гипотеза верна.

Приведем классический пример того, как легко, начав с очень простого утверждения и сделав всего лишь несколько, казалось бы, прямых и вполне логичных шагов, показать, 2=1.

Начнем с невинного утверждения о том, что

a = b.

Умножив обе части равенства на a , получим:

a 2= ab.

Добавив к обеим частям равенства по a 2–2 ab :

a 2+ a 2– 2ab = ab + a 2– 2ab.

Это равенство можно упростить:

2(a 2— ab) = a 2— ab.

Наконец, сокращая это выражение на a 2- ab получаем требуемое равенство 2=1.

Исходное утверждение казалось совершенно безвредным (и на самом деле оно не таит в себе ничего плохого), но, производя шаг за шагом преобразования равенства a = b , мы допустили маленькую, но роковую ошибку, которая и привела нас к противоречию. Эту ошибку мы допустили, производя последнее преобразование, когда разделили обе части равенства на a 2- ab . Из исходного утверждения нам известно, что a = b . Следовательно, деление на a 2- ab эквивалентно делению на нуль.

Такого рода тонкая ошибка типична для просчетов, допущенных многими соискателями премии Вольфскеля.

Величественное здание арифметики опирается на следующие аксиомы.

1. Для любых чисел m и n

2. Для любых чисел m, n и k

3. Для любых чисел m, n и k

4. Существует число 0, такое, что для любого числа n

5. Существует число 1, такое, что для любого числа n

6. Для любого числа n существует другое число k , такое, что

7. Для любых чисел m, n и k

Исходя из этих аксиом, можно доказать другие правила арифметики. Например, используя только приведенные выше аксиомы и не прибегая ни к каким другим допущениям, мы можем строго доказать правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:

если m + k = n + k , то m = n .

Прежде всего, пусть

m + k = n + k .

Аксиома 6 гарантирует, что существует число l , такое, что k + l =0, поэтому

( m + k ) + l = ( n + k ) + l .

Но по аксиоме 2

m + ( k + l ) = n + ( k + l ).

Принимая во внимание, что k + l =0, получаем:

m + 0 = n + 0.

Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:

m = n .

Однажды утром м-р Блэк, м-р Грей и м-р Уайт вздумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. М-р Блэк стрелял хуже всех. В цель он попадал в среднем лишь один раз из трех. М-р Уайт стрелял лучше всех — без промаха. Чтобы уравнять шансы участников труэли, м-ру Блэку разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять м-р Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять м-р Уайт (если он еще будет жив). Далее все начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли. Вопрос: в кого должен выстрелить м-р Блэк, производя свой первый выстрел?

Проанализируем выбор цели, который предстоит сделать мистеру Блэку. Во-первых, если мистер Блэк стреляет в мистера Грея и попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Уайту. У мистера Уайта останется единственный противник — мистер Блэк, а поскольку мистер Уайт стреляет без промаха, то мистер Блэк может считать себя покойником.

Для мистера Блэка лучше, если он прицелится в мистера Уайта. Если мистер Блэк попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Грею. Мистер Грей попадает в цель только в двух случаях из трех, поэтому у мистера Блэка есть шанс остаться в живых, произвести ответный выстрел в мистера Грея и, возможно, выиграть труэль.