Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

Цель доказательства — убедиться в том, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Треугольник, изображенный на рисунке слева, может быть любым прямоугольным треугольником, так как длины его сторон не указаны, а обозначены буквами x, y и z . Справа из четырех одинаковых прямоугольных треугольников и наклоненного квадрата составлен квадрат больших размеров. Площадь большего квадрата — ключ к доказательству.

Площадь большого квадрата можно вычислить двумя способами.

1-й способ. Измеряем площадь большого квадрата как единой фигуры. Длина каждой стороны равна x + y . Следовательно, площадь большого квадрата равна ( x + y ) 2.

2-й способ. Измеряем площадь каждого элемента большого квадрата. Площадь каждого треугольника равна xy /2. Площадь наклонного квадрата равна z 2. Следовательно, площадь большого квадрата равна 4 × (площадь каждого треугольника) + (площадь наклонного квадрата) = 4· xy /2 + z 2. 1-й и 2-й способы приводят к двум различным выражениям. Оба выражения должны быть равны, так как они представляют различные записи одной и той же площади. Следовательно,

(x + y) 2= 4·xy/2 + z 2.

Раскроем скобки и упростим полученные выражения:

x 2+ 2xy + y 2= 2xy + z 2.

Члены 2 xy , стоящие в левой и правой частях равенства, взаимно уничтожаются, и мы получаем

x 2+ y 2= z 2.

Это и есть теорема Пифагора!

Приведенное доказательство остается в силе для любых прямоугольных треугольников. Длины сторон треугольника в нашем доказательстве обозначены буквами x, y и z , которые могут быть длинами сторон любого прямоугольного треугольника.

Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число √2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число √2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p / q , где p и q — два целых числа.

Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.

1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.

2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.

3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.

Напомним, что по мнению Евклида число √2 не представимо в виде дроби. Но поскольку Евклид использовал доказательство от противного, он начал с предположения, что дробь p / q , равная числу √2, существует, а затем исследовал, к каким последствиям приводит такое предположение:

√2 = p / q .

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем

2 = p 2/ q 2.

После несложного преобразования запишем это равенство в виде

2q 2= p 2.

Из 1) мы знаем, что число p 2должно быть четным. Кроме того, из 2) нам известно, что число p также должно быть четным. Но если p четно, то, как следует из 1), его можно записать в виде 2 m , где m — некоторое другое целое число. Подставляя p = 2 m в равенство для p 2, получаем

2q 2= (2m) 2= 4m 2.

Сокращаем правую и левую части равенства на 2:

q 2= 2m 2.

Рассуждая так же, как прежде, заключаем, что число q 2должно быть четным. Значит, и само число q должно быть четным. Но если это так, то q можно записать в виде q = 2 n , где n — некоторое другое целое число. Возвращаясь к исходной записи числа √2, получаем:

√2 = p/q = 2m/2n.

Дробь 2 m /2 n можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

√2 = m/n.

Мы получаем дробь m / n , которая проще, чем p / q (имеет меньший числитель и знаменатель). Теперь мы как бы снова оказались находимся на исходной позиции, и, проделав с дробью m / n все, что мы проделали с дробью p / qn , получим в результате еще более простую дробь, например, g / h . Проделав с этой дробью тоже самое, приведем ее к еще более простой дроби t / f , и т. д. Аналогичную процедуру можно проделывать бесконечное число раз. Но из 3) мы знаем, что дробь невозможно упрощать бесконечно — всегда существует простейшая дробь. Но наша исходная гипотетическая дробь p / q , насколько можно судить, не подчиняется этому правилу. Следовательно мы получили противоречие. Итак, мы можем утверждать, что число √2 не представимо в виде дроби, а это означает оно является иррациональным числом.