Яков Перельман - Живой учебник геометрии

о к о л о в с я к о г о т р е у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь; ц е н т р е е л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и п е р п е н д и к у л я р о в, п р о в е д е н н ы х ч е р е з с е р е д и н у д в у х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а. Попутно мы можем установить следующее свойство треугольника. Так как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины двух сторон треугольника, одинаково удалена от концов третьей стороны, то она должна находиться и на перпендикуляре, проведенном через середину этой стороны треугольника. Значит: п е р п е н д и к у л я р ы, п р о в е д е н н ы е ч е р е з с е р е д и н ы т р е х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а, п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.

Покажем сначала, что во всякий треугольник, какой бы он ни был формы, можно вписать круг. Пусть имеется треугольник ABC (черт. 214). В него можно будет вписать круг, если удастся найти такую точку, которая одинаково удалена от трех его сторон. Сначала найдем все точки, одинаково удаленные от двух сторон АВ и АС ; они расположены, мы знаем (§ 50), на равноделящей Аа угла А (черт. 216). Затем найдем все точки, одинаково удаленные от сторон АВ и ВС ; они расположены на равноделя-щей Вb угла В . Точка О их пересечения одинаково удалена от трех сторон треугольника: АВ, АС и ВС , и, следовательно, это и есть центр вписанного круга.

Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, в который нельзя бы вписать круг. Способ же построения круга вытекает из сказанного: надо разделить два угла пополам – точка пересечения равноделящих есть центр вписанного круга; проведя через него перпендикуляр к одной из сторон, найдем радиус этого круга. Итак:

в о в с я к и й т р е у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г; ц е н т р е г о л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и р а в н о д е л я щ и х д в у х у г л о в т р е у г о л ь н и к а. Легко видеть, что так как точка пересечения равно-делящих двух углов одинаково удалена от сторон третьего угла, то она должна лежать и на равноделящей третьего угла треугольника. Значит:

р а в н о д е л я щ и е т р е х у г л о в т р е у г о л ь н и к а п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.

Вписать в данный круг квадрат весьма просто; надо провести в круге два диаметра, встречающиеся под прямым углом, и концы их соединить прямыми линиями. (Объясните на черт. 217, почему получающийся при этом четырехугольник – квадрат).

Черт. 216 Черт. 217 Черт. 218

Чему равна сторона вписанного квадрата, если радиус круга известен, легко вычислить из треугольника АОВ (черт. 217), пользуясь теоремой, Пифагора. Обозначив искомую длину стороны через а 4, а радиус – через R, имеем

Описать около данного круга квадрат можно так (черт. 218): начертив в нем два взаимно перпендикулярных диаметра, проводят через их концы перпендикуляры. (Докажите, что получающийся четырехугольник-квадрат).

Легко убедиться, что сторона описанного квадрата равна диаметру круга (докажите это).

Чтобы найти способ вписать в данный круг правильный шестиугольник, определим сначала длину его стороны, считая радиус круга известным. Пусть АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного шестиугольника. Соединим вершины А и В с центром О круга. Так как дуга А и В составляет 6-ю часть полной окружности, то она содержит 360°/6= 60°; столько же градусов заключает центральный угол АОВ . Но если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, то углы при основании также равны 60° (почему?). Следовательно, треугольник АОВ – равносторонний: АВ = АО = ВО .

Другими словами, сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга.

Отсюда вытекает способ вписать в круг правильный шестиугольник: надо растворить циркуль на величину радиуса и засечь вдоль окружности шесть раз, а затем соединить точки деления, прямыми линиями.

Чтобы вписать в круг равносторонний треугольник, можно воспользоваться способом построения правильного шестиугольника: разделив окружность на 6 равных частей соединяют точки: деления через одну.