Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Из свойств суммы углов треугольника вытекает ряд других свойств фигур. Заметим некоторые из них:

1) В т р е у г о л ь н и к е н е м о ж е т б ы т ь б о л ь ш е о д н о г о т у п о г о у г л а (подумайте, какова должна была бы быть сумма всех углов треугольника, если бы три или два его угла были тупые, т. е. больше прямого).

2) В т р е у г о л ь н и к е н е м о ж е т б ы т ь б о л ь ш е о д н о г о п р я м о г о у г л а (почему?)

3) В н е ш н и й у г о л т р е у г о л ь н и к б о л ь ш е к а ж д о г о н е с м е ж н о г о с н и м в н у т р е н н е г о (см. черт. 45).

Черт. 48 Черт. 49

4) Ч е р е з т о ч к у, л е ж а щ у ю в н е п р я м о й, м о ж н о п р о в е с т и к э т о й п р я м о й т о л ь к о о д и н

п е р п е н д и к у л я р. – Если бы, например (черт. 50), к прямой МN можно было провести из точки А больше одного перпендикуляра, – скажем, кроме АВ еще АС, – то в треугольнике ABC оказалось бы два прямых угла, а это, мы знаем, невозможно.

5) Н е с к о л ь к о п е р п е н д и к у л я р о в к о д н о й п р я м о й л и н и и (черт. 48) в с е г д а п ар а л л е л ь н ы

м е ж д у с о б о ю. Если бы они были не параллельны, т. е. если бы они встречались, то составились бы треугольники с двумя прямыми углами каждый.

6) П р я м ы е л и н и и, в с т р е ч а ю щ и е о д н у и т у ж е п р я м у ю п о д р а в н ы м и с о о т в е т с т в е н н ы м и

у г л а м и (черт. 51), п а р а л л е л ь н ы м е ж д у с о б о й. – Если бы они были не параллельны, т. е. если бы встречались, то уг. 2, например, оказался бы внешним углом треугольника, а р а в н ы й е м у уг. 1 – внутренним углом того же треугольника; но это невозможно (см. следствие 3-е).

На последнем свойстве основан способ проводить параллельные линии с помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 52).

Повторительные вопросы

Могут ли три угла треугольника быть тупыми? А только два угла? – Может ли в треугольнике быть три прямых угла? А два прямых угла? (Попробуйте начертить такой треугольник). – Сколько перпендикуляров можно провести к прямой линии из внешней точки? – Каким свойством обладают два перпендикуляра к одной прямой? – Каким свойством обладают две прямые, встречающие третью под равными соответственными углами? – Как чертят параллельные помощью линейки и чертежного треугольника?

Рассмотрим следующую задачу:

Расстояния между тремя селениями 7 км, 5 км и 6 км. Начертить расположение этих селений в масштабе 1 км в 1 см.

Ясно, что точки, изображающие селения, нужно расположить на вершинах треугольника, стороны которого 7 см, 5 см и 6 см.

Объясним, как начертить («построить») этот треугольник

Проведем (черт. 53) по линейке прямую линию MN и отложим на ней помощью циркуля одну из сторон треугольника – напр., в 6 см. Концы этого отрезка обозначим буквами А и В . Остается найти такую третью точку, которая удалена от А на 7 см и от В на 5 см (или наоборот): это и будет третья вершина треугольника со сторонами 7 см, 5 см и 6 см. Чтобы эту точку разыскать, раздвигают сначала концы циркуля на 7 см и описывают окружность вокруг точки А, как около центра (черт. 54). Все точки этой окружности отстоят от A на 7 см; среди них нужно найти ту, которая отстоит от вершины В на 5 см. Для этого вокруг В, как около центра, описывают окружность радиусом 5 см. Где обе окружности пересекаются, там лежат точки, удаленные от А на 7 см и от В на 5 см (черт. 54). Наши окружности пересекутся в двух точках С и D. Соединив их с А и В, получим два треугольника САВ и DAB, имеющие стороны в 6 см, в 7 см и в 5 см.

Нетрудно убедиться, что треугольники эти равны, т. е. будут совпадать, если их наложить один на другой. Для этого перегнем черт. 54 так, чтобы линией перегиба была прямая МN, и чтобы верхняя часть чертежа покрыла нижнюю. Обе окружности перегнутся при этом по их диаметрам, и верхние полуокружности совпадут с нижними (почему?); но если совпадают все– точки обеих полуокружностей, то должны совпадать и точки их пересечений С и D , а тогда сольются и стороны обоих треугольников. Значит, треугольники CAB и DАВ – равны.