Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

2,34000

52,125

и такъ какъ единицы дѣлителя оказались подъ сотыми долями дѣлимаго, то первая цифра частнаго 448, т. е. 4, выражаетъ собой сотыя доли и, слѣд., результатъ дѣйствія долженъ быть такой: 0,0448. Иногда нужно бываетъ при этомъ способѣ приписать съ лѣвой стороны дѣлимаго нѣсколько нулей, потому что иначе дѣлитель не можетъ помѣститься подъ дѣлимымъ. Примѣръ—0,0758 : 0,000064, тогда для удобства мы напишемъ такъ: 0000,0758 и выведемъ изъ этого, что при дѣленіи на 0,000064 высшій разрядъ частнаго составитъ тысячи, такъ какъ единицы дѣлителя оказались подъ тысячами дѣлимаго. И дѣйствительно, если произвести вычисленіе, то получится въ отвѣтѣ 1184,375.

Если сопоставить всѣ способы, какими писались десятичныя дроби въ математ. работахъ ХVIII вѣка, то получится всего пять видоизмѣненій, и если по нашему пишется 0,784, то у Бейера

III

784

, у Неппира 0°7'8"4'", у Вингата .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0<784.

Мы разсмотрѣли до сихъ поръ, кѣмъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе успѣхи онѣ сдѣлали въ XVII столѣтіи. Въ слѣдующеvъ вѣкѣ, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ мѣсто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ариѳметикѣ нѣмецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ариѳметики онѣ уже замѣнены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, примѣняетъ десятичныя дроби только къ мѣрамъ длины. Самое трудное изъ дѣйствій — дѣленіе онъ производитъ по такому правилу: надо дѣлить, какъ цѣлыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера дѣлимаго вычесть номеръ дѣлителя. Вотъ примѣръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).

При такомъ пріемѣ получается въ отвѣтѣ двѣ дроби: десятичная 3 и обыкновенная 42/ 321, такъ какъ въ остаткѣ получилось 42.

Чтобы частное состояло только изъ одной десятичной дроби, Париціусъ совѣтуетъ приписывать къ дѣлимому постепенно нули, до тѣхъ поръ, пока, наконецъ, дѣленіе не выйдетъ безъ остатка. Если же оно безъ остатка никакъ не выходитъ, то Париціусъ рекомендуетъ совсѣмъ бросить небольшой остатокъ, по латинской пословицѣ «minima non curat praetor», т.-е. «о пустякахъ не стоитъ толковать». Періодическія дроби принадлежатъ уже 19-му вѣку.

Непрерывныя дроби. Еще у египтянъ встрѣчаемъ мы дроби, у которыхъ числитель не цѣлое число; онъ самъ представляетъ изъ себя дробь, напр.

это значитъ 2 вооьмушки и еще сверхъ того треть восьмушки. Так-же и у римлянъ нерѣдко ножно было встрѣтить

унціи, т. е. 1 двѣнадцатую и еще ½ двѣнадцатой,

Такимъ образомъ и въ древнемъ мірѣ идея непрерывныхъ дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на томъ, что числитель можетъ быть не только цѣлое число, но и смѣшанное.

Греческій математикъ Архимедъ примѣнялъ непрерывныя дроби къ извлеченію квадратныхъ корней и выражалъ этими дробями приближенныя величины корней. Арабскій ученый Алькальцади (въ XV в. по Р. X.) даетъ нѣкоторые намеки на восходящія непрерывныя дроби; онъ примѣняетъ ихъ къ дѣленію съ остаткомъ и обозначаетъ ими дробное частное. Напр., требуется раздѣлить 253 на 280, и такъ какъ 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва дѣлимъ 253 на 8, будетъ 31⅝, потомъ полученное дѣлимъ на 7, будетъ

и, наконецъ, дѣлимъ на 5, будетъ

а это, обыкновенно, прѳдставляется такъ:

и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:

или, если написать ее яснѣе, то

вычислить ее можно такъ:

Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ видѣ непрерывной дроби величину π/4 = 0, 78539316... (π показываетъ отношеніе длины окружности къ длинѣ ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, нѣмецкій ученый 18 в.